$ ext {FWT}$学习笔记

( ext {FWT}) 学习笔记

正常项的( ext {FWT})

在( ext {OI})中，我们经常会碰到这种问题:

• 给出一个长度为(n)的序列(a_{1,2,...,n},b_{1,2,...,n})，求出

[c_k=sum_{ioplus j=k}a_i b_j ]

其中(oplus)是定义的一种二进制下的运算。

对于这种问题，我们有一种通用的方法，我们称之为( ext {FWT})。

我们考虑对于一个(A)构造一个(FWT)变换序列，满足:

[forall A imes B=C,FWT[A]star FWT[B]=FWT[C] ]

其中( imes)就是上文定义的卷积，(star)是按位乘法。

我们考虑定义一种二进制运算的函数(c(i,j))，满足:

[FWT[A]_i=sum_{j=0}^{n} c(i,j) A_j ]

于是，我们可以得到:

若存在:

[C=A imes B ]

则有：

[FWT[C]_i=sum_{j=0}^{n} c(i,j)sum_{koplus d=j} A_kB_d ]

[=sum_{j=0}^{n} sum_{koplus d=j} c(i,koplus d) A_k B_d ]

而我们根据(FWT)的定义我们又可以得到:

[FWT[C]_i=FWT[A]_i imes FWT[B]_i=(sum_{j=0}^{n} c(i,j)A_j) imes (sum_{j=0}^{n} c(i,j)B_j) ]

[=sum_{j=0}^{n} sum_{k=0}^{n} c(i,j) c(i,k)A_j B_k ]

于是，我们就可以得到:

[c(i,j)c(i,k)=c(i,joplus k) ]

不过因为是在二进制下的运算，所以一般构造的话都会满足

若

[i=(i_1i_2...i_n)_2 ]

则满足:

[c(i,j)=c(i_1,j_1)c(i_2,j_2)...c(i_n,j_n) ]

于是，我们只需要知道(c(0/1,0/1))即可。

但是，我们现在仅仅可以在(Theta(n^2))的时间复杂度内求出和转换(FWT[A])，显然不能满足我们的对优秀的时间的渴求。

我们想一下在( ext {FFT})中，我们是如何做到(Theta(nlog n))转换的？分治！！！我们在( ext {FWT})中也可以用类似的方法。

我们考虑对于当前的(FWT[A]_i)应该如何求出。

可以得到:

[FWT[A]_i=sum_{j=0}^{n} c(i,j)A_j ]

[=sum_{j=0}^{n/2-1} c(i_1,0) A_j+sum_{j=n/2}^{n} c(i_1,1)A_j ]

[=c(i_1,0)FWT[A_0]_i+c(i_1,1)FWT[A_1]_i ]

其中(FWT[A_0/A_1])就是子集的一个变换，与( ext {FFT})类似。

我们发现如果我们构造转移矩阵:

[ ext {mat}=egin{bmatrix}c_{0,0} ,c_{0,1}\ c_{1,0},c_{1,1} end{bmatrix} ]

其实(A o FWT[A])每一次变换就是乘上( ext {mat})，那么(FWT[A] o A)就是乘上( ext {mat})的逆矩阵。逆矩阵直接手动构造即可。

一些例子

(wedge)

对于并卷积，我们可以构造(c(i,j)=[j|i])，其中([j|i])表示的是二进制下的(j)是二进制下的(i)的子集（每一位(0/1)相当于该元素是否在当前集合出现）。

(vee)

对于或卷积，我们可以构造(c(i,j)=[i|j])。

(oplus)

对于异或卷积，我们可以构造(c(i,j)=(-1)^{|iwedge j|})。

模板题

就是上面三种运算的总和，代码戳这里打开。

非模板的一些例子

CF449D Jzzhu and Numbers

CF1119H Triple + 题解 link

( ext {FST})

我们需要解决这样一个问题:

• 给出一个长度为(n)的序列(a_{1,2,...,n},b_{1,2,...,n})，求出:

[c_i=sum_{jvee k=i,jwedge k=0} a_j b_k ]

对于这个问题，如果没有(jwedge k=0)的话，这就是一个板的( ext {FWT}) (vee)运算。我们发现其实(jwedge k=0)的条件就相当于(|j|+|k|=|jvee k|)，于是，我们可以设二维数组(f_i)，我们可以设转移式:

[f_i=sum_{j=0}^{i} h_j w_{i-j} ]

其中(h_{i,j}=[|j|=i]a_j,w_{i,j}=[|j|=i]b_j)。

很显然，最后的(c_i=f_{|i|,i})。

于是，我们就可以在(Theta(nlog^ 2 n))的时间复杂度内解决这个问题。

代码戳这里打开

(k)进制下的( ext {FWT})

我们发现上面的这个东西其实都是在(2)进制下面计算的，那么如果我们要拓展到(k)进制我们应该怎么办呢？

很显然，我们应该定义广义的(wedge,vee,oplus)。

• $wedge $

在(k)进制下，定义(awedge b=min{a,b})

• (vee)

在(k)进制下，定义(avee b=max{a,b})

• (oplus)

在(k)进制下，定义(aoplus b=(a+b)mod k)

因为(wedge,vee)不是很常用，所以这里着重介绍一下(oplus)。

我们要考虑如何构造(c(i,j))，我们发现我们需要满足:

[c(i,j)c(i,k)=c(i,(j+k)mod k) ]

我们在脑中想一下，诶，似乎单位根满足这个条件诶！

于是，我们可以构造矩阵:

[egin{bmatrix}1&1&1&cdots &1\1&w_k^1&w_k^2&cdots&w_k^{k-1}\ 1&w_k^2&w_k^4&cdots&w_k^{2(k-1)} \ vdots&vdots& vdots&ddots &vdots\ 1&w_k^{k-1}&w_k^{2(k-1)}&cdots&w_k^{(k-1)(k-1)}end{bmatrix} ]

而它的逆矩阵就是:

[frac{1}{k}egin{bmatrix}1&1&1&cdots &1\1&w_k^{-1}&w_k^{-2}&cdots&w_k^{-(k-1)}\ 1&w_k^{-2}&w_k^{-4}&cdots&w_k^{-2(k-1)} \ vdots&vdots& vdots&ddots &vdots\ 1&w_k^{-(k-1)}&w_k^{-2(k-1)}&cdots&w_k^{-(k-1)(k-1)}end{bmatrix} ]

一些例题

CF1103E Radix sum+题解 link