容斥原理初探

前言

确实是初探，因为以前学得太烂了。。。

参考了这篇日报: https://www.luogu.com.cn/blog/KingSann/chu-tan-rong-chi-yuan-li

下面的(U)是全集，(|S|)表示集合(S)的大小。

正常项的容斥原理

大概长成这个样子吧:

[|S_1cup S_2cup ...cup S_m|=sum_{Tsubseteq U}(-1)^{|T|+1}|S_{T1}cap S_{T2}cap ...| ]

一般化的容斥原理

下面的答案可以指任意答案。

我们假设存在以下函数:

1. (q(S))，表示至少包含属性集合(S)的集合个数

2. (g(n))，表示属性集合大小为(n)的集合对答案产生的贡献

3. (f(i))，表示容斥系数

我们需要我们的(f(i))满足答案为(sum_{Ssubseteq U} q(S)f(|S|))。

那么，我们考虑一个大小为(n)的集合对答案产生的贡献，显然它满足:

[sum_{i=1}^{n}inom{n}{i}f(i)=g(n) ]

这个式子非常显然。

于是，我们就可以推得:

[f(n)=g(n)-sum_{i=1}^{n-1}inom{n}{i}f(i) ]

我们就可以递推求得(f(x))。不过这里有一种更快的方法。我们下面假设(F(x))为(f(x))的指数型生成函数（定义(f(0)=0)），(G(x))为(g(x))的指数型生成函数，可以发现:

[F(x)e^x=G(x) ]

[Rightarrow F(x)=e^{-x}G(x) ]

而我们的(e^{-x})又是(sum_{i=1}^{infty} (-1)^idfrac{x^i}{i!})，于是我们就可以直接多项式乘法做到(Theta(nlog n))。

我们其实还可以使用二项式反演求到:

[f(n)=sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}inom{n}{i}g(i) ]

一些小小的应用

正常项容斥原理的证明

显然，这里的答案就是至少出现过一次的元素个数，属性集合就是一个元素在哪些集合里面出现过，(g(n)=[nge 1])，于是根据上面的上面的式子求得(f(n)=(-1)^{n+1})，于是我们得证了。

错排问题

显然，这里的答案就是错排个数，属性集合就表示的是哪些位置对应数相同，(g(n))就是([n=0])。于是，我们发现如果我们取(f(x)=(-1)^x)的话，就可以满足:

[sum_{i=1}^{n} inom{n}{i}f(i)=g(n) ]

这个可以使用二项式定理证明。

于是我们的答案就是:

[sum_{i=0}^{n}(-1)^i inom{n}{i}(n-i)! ]

[=sum_{i=0}^{n} (-1)^i dfrac{n!}{i!} ]

[=n!sum_{i=0}^{n} dfrac{(-1)^i}{i!} ]

然后如果我们设(f(n))为(n)个点的错排个数的话，根据上面的式子就可以得到一个递推式:

[f(n)=(-1)^n+nf(n-1) ]

当然还有考虑组合意义的递推公式，但是与主题无关，所以这里就不讲了。