String Journey
题目大意
给出一个长度为(n)的字符串，求出最大的(k)，使得可以在该字符串中选出(k)个子串，并且前一个子串包含后一个子串。
(nle 500000)
思路
不难想到第(i)个子串（从后往前）的长度最优情况一定为(i)（显然）。于是，我们可以设(dp[i])表示将([i,i+dp[i]-1])作为第一个子串最大的(k)。然后，就有一种十分显然的(Theta(n^2))哈希做法。
这个时候，我们又发现(dp[i]le dp[i+1]+1)，大概原因见下图：
上面的( exttt{cur})就是(i+dp[i+1])。
于是，我们只需要判断当前(dp[i])对于当前(i)是否合法即可，时间复杂度就可以降为(Theta(nc))，其中(c)为单次判断的时间复杂度。
其实我们可以将(c)优化到(log n)。我们考虑(dp[i])合法当且仅当存在(j)使得(jge i+dp[i])并且([j,j+dp[i]-2])为([i,i+dp[i]-1])的后缀或者([i+1,i+dp[i]])的前缀并且(dp[j]ge dp[i]-1)。然后你就发现这个东西我们可以用后缀自动机加上线段树做。时间复杂度就降到了(Theta(nlog n))。
( exttt{Code})
Colorful Slimes
题目大意
有 (n) 个颜色的史莱姆，颜色为 (1 o n) 。每次可以花 (A_i) 的代价抓走一只史莱姆，或者是花费 (x) 的代价让剩余史莱姆的颜色+(1)（颜色为 (n) 的变为1）。
(nle 2 imes 10^3)
思路
水题。直接枚举一下颜色+(1)多少次即可。
时间复杂度(Theta(n^2))。
( exttt{Code})
Prefix Median
题目大意
对于一个排列(a_{1,2,...,2n-1})，我们可以对其构造数组(b_{1,2,...,n})，满足(b_i=a_{[1,2i-1]})的中位数。
对于一个数组，求出它所有排列对应了多少种不同的构造数组。
(nle 50)，答案对(10^9+7)取模。
思路
我们首先可以看出两个事情：
-
(b_n)总是固定的。
-
(b_i)和(b_{i+1})之间不会移动超过一位。
第一个显然，第二个也很显然，就是分类讨论一下就好了。
然后我们手玩一波发现，如果我们对(a_{1,2,...})数组进行排序，那么，(a_{i}le b_ile a_{2n-i})。这个其实就是第二个结论的推导结论。
我们还发现第二个结论还可以推出这样一个性质:
- 不存在(i<j)并且(b_j<b_i<b_{j+1})或者(b_{j+1}<b_i<b_j)
于是，我们可以设(f_{i,j,k})表示从后往前考虑到(b_i)，有(j)个小于等于(b_{i})，有(k)个大于(b_{i})。然后我们就很容易得到一个(Theta(n^4))的方法了。
( exttt{Code})
Salvage Robots
题目大意
给出(n imes m)的矩阵，上面有些格子有机器人。机器人可以且仅可以一起向上下左右移动，走出边界就死了，走到终点就活了。问最多可以救活多少台机器人。
(n,mle 100)
思路
这道题首先有一个很妙的部分，就是我们不让机器人动，而是让终点动（如果大山不会走向穆罕默德,穆罕默德可以走向大山（bushi ， 但是我们还有机器人掉下去的限制，于是我们还需要附加一个可以跟着终点动的框，在框外的机器人自动挂掉。
我们同时发现一个重要的性质，如图：
如果我们的终点已经走过(A,B)，那么走到(C)不是使答案变劣。（应该很显然吧。。。）
于是，我们可以考虑设(f_{i,j,k,l})表示终点走完以((i,j))为左上端点((k,l))为右下端点的矩形可以救到的最多的机器人。然后我们可以考虑往四周拓展。不过细节似乎有点多。。。
( exttt{Code})
Cleaning
题目大意
给出一个(n)个点的树，每个点有(a_i)个石头，每次可以选两个叶子把该路径上所有节点拿掉一个石头，前提是路径上不能有节点没有石头。问是否可以让每个节点都没有石头。
(nle 10^5)
思路
应该不是很难吧？只是细节有点多（虽然并没有上面几道题多
不难想到设(f_u)表示从(u)子树中能够往外延伸的石子个数，再设(s_u=sum_{vin son_u} f_v)，那么我们可以得到:
应该很好理解吧（手动划掉）
于是，我们移项得到：
那么判断方法就是是否(forall u,0le f_ule a_u)并且(f[root]=0)（(root)就是根）还有(max_{vin son_u}f_v le a_u)。
可能最后一个比较难理解，这里解释一下，大概意思就是如果两两匹配有一个过大就不得行，即(max_{vin son_u} f_v-f_u>a_u-max_{vin son_u}f_v)，然后移项得到这个式子。
于是我们就可以在(Theta(n))的时间复杂度内解决这个问题了。（注意特判(n=2)的情况）
( exttt{Code})
New Year and Arbitrary Arrangement
题目大意
给出(k,pa,pb)，表示有一个ab字符串，每次有(dfrac{pa}{pa+pb})的概率添加一个a，有(dfrac{pb}{pa+pb})的概率添加一个b，但是一旦ab子序列大于等于(k)就立马停止。问最后字符串里面ab子序列的期望个数。
思路
因为一个错误翻译让我理解不了题解。。。说明yybyyb是个屑（划掉）
为了方便，下面设(A=dfrac{pa}{pa+pb},B=dfrac{pb}{pa+pb})
我们发现有无数种终止状态。。。真的很恶心了。。。（更何况我期望dp菜得一批）但是其实我们还是可以做的，我们可以设(f_{i,j})表示当前有(i)个a，(j)个ab子序列，结束时的ab子序列的期望个数。
我们可以列出转移方程:
考虑边界情况(i+jge k)的情况，这个时候我们只要再出现一次b就可以结束这个游戏，于是答案就是(i+j+k)，其中
这个东西用错位相减可以求出来等于(dfrac{pa}{pb})。
于是，我们就可以(Theta(k^2))解决这个问题。
一个小细节就是，我们最后的答案不能取(f_{0,0})而要取(f_{1,0})，因为(f_{0,0})会对自己不听产生贡献，换句话说就会陷入bbbbb...bbbba...无限个b这种情况，但是我们发现第一个a之前的b其实都是没有什么用的（社会渣滓（大雾 ，于是答案就可以取(f_{1,0})。