题目大意
给出 (n) 以及一个长度为 (n) 的数组 (a_{1,2,...,n}) ，定义 (f_i) 表示斐波拉契数列的第 (i) 项，其中 (f_1=f_2=1) 。求出 ( ext{lcm}{f_{a_1},f_{a_2},...,f_{a_n}}) 。
(nle 5 imes 10^4,a_ile 10^6)
思路
算是让我见识了 ( ext{min-max}) 容斥有多强。做这道题首先你得知道一个知道一个式子：
[ ext{lcm}{S}=prod_{Tsubseteq S}gcd{T}^{(-1)^{|T|+1}}
]
具体证明可以考虑我们对于质因数分解的每一位做 ( ext{min-max}) 容斥。
然后看到这道题，我们又有一个人尽皆知的定理 (gcd(f_i,f_j)=f_{gcd(i,j)})，然后就可得到：
[ ext{lcm}{S}=prod_{Tsubseteq S}f_{gcd{T}}^{(-1)^{|T|+1}}
]
[=prod_{i=1}^{infty} f_i^{sum_{Tsubseteq S} [gcd{T}=i](-1)^{|T|+1}}
]
然后上面那一坨不是很好求，所以我们可以考虑莫比乌斯反演解决，我们设 (a_i=sum_{Tsubseteq S} [gcd{T}=i](-1)^{|T|+1}) ，(b_i=sum_{i|d} a_d)，那么我们可以得到：
[b_i=sum_{Tsubseteq S}[i|gcd{T}](-1)^{|T|+1}
]
然后你发现如果 (i) 在 (T) 中出现过，那么 (b_i=1)，反之为 (0)，具体证明可以使用二项式定理。
然后我们使用莫比乌斯反演可以得到：
[a_i=sum_{i|d}mu(frac{d}{i})b_d
]
然后直接预处理之后暴力算就好了，时间复杂度为 (Theta(wln w)) ，其中 (w) 是值域。
( exttt{Code})
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define Int register int
#define mod 1000000007
#define MAX 1000000
int n,tot,f[MAX + 5],a[MAX + 5],b[MAX + 5],mu[MAX + 5],vis[MAX + 5],prime[MAX + 5];
void Euler (int up){
mu[1] = 1;
for (Int i = 2;i <= up;++ i){
if (!vis[i]) prime[++ tot] = i,mu[i] = -1;
for (Int j = 1;j <= tot && i * prime[j] <= up;++ j){
vis[i * prime[j]] = 1;
if (i % prime[j] == 0) break;
else mu[i * prime[j]] = -mu[i];
}
}
}
int qkpow (int a,int b){
int res = 1;for (;b;b >>= 1,a = 1ll * a * a % mod) if (b & 1) res = 1ll * res * a % mod;
return res;
}
template <typename T> inline void read (T &t){t = 0;char c = getchar();int f = 1;while (c < '0' || c > '9'){if (c == '-') f = -f;c = getchar();}while (c >= '0' && c <= '9'){t = (t << 3) + (t << 1) + c - '0';c = getchar();} t *= f;}
template <typename T,typename ... Args> inline void read (T &t,Args&... args){read (t);read (args...);}
template <typename T> inline void write (T x){if (x < 0){x = -x;putchar ('-');}if (x > 9) write (x / 10);putchar (x % 10 + '0');}
signed main(){
read (n),Euler (MAX);
for (Int i = 1,x;i <= n;++ i) read (x),b[x] = 1;
for (Int i = 1;i <= MAX;++ i)
for (Int j = i + i;j <= MAX;j += i)
b[i] |= b[j];
f[1] = f[2] = 1;for (Int i = 2;i <= MAX;++ i) f[i] = (f[i - 1] + f[i - 2]) % mod;
for (Int i = 1;i <= MAX;++ i)
for (Int j = i;j <= MAX;j += i)
a[i] += mu[j / i] * b[j];
int ans = 1;for (Int i = 1;i <= MAX;++ i) ans = 1ll * ans * qkpow (f[i],mod - 1 + a[i]) % mod;
write (ans),putchar ('
');
return 0;
}