【例7.4】 循环比赛日程表

1325：【例7.4】 循环比赛日程表

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【题目描述】

设有NN个选手进行循环比赛，其中N=2^M，要求每名选手要与其他N−1N−1名选手都赛一次，每名选手每天比赛一次，循环赛共进行N−1N−1天，要求每天没有选手轮空。

【输入】

输入：M。

【输出】

输出：表格形式的比赛安排表。一行各数据间用一个空格隔开。

【输入样例】

3

【输出样例】

1 2 3 4 5 6 7 8
2 1 4 3 6 5 8 7
3 4 1 2 7 8 5 6
4 3 2 1 8 7 6 5
5 6 7 8 1 2 3 4
6 5 8 7 2 1 4 3
7 8 5 6 3 4 1 2
8 7 6 5 4 3 2 1

例题不怎么详的解：
解题时的我：
这题乍一看挺简单的，拿着题目想了5分钟就可以得出大致思路，我一开始想到了其实就想到了找规律，但是虽然找到了规律，却不敢下手去码，因为是新的一章。于是我先把这个思路放了放，转向另一种思路。
想到了纯模拟，用各种数组记录安排啊什么的，发现这种办法实在太麻烦，而且极其容易超时，根本不是办法。
最后看了下书上的算法分析，恍然大悟，原来真nm是找规律，于是乎我又回到了刚开始的思路。

从题目所给的例子，眼尖的童鞋一眼就会发现左斜着的一排全是1，右斜着的一排全是8。如果有接触过邻接链表，你就会惊讶地发现这也是一个具有对称性的表格啊！？
继续观察，果不其然，发现对角对称性，即左上的部分和右下的部分完全一致，右上和左下的部分完全一致。完全一致啊！！！

深入这道题目本身的设定，原来是因为比赛的场次都会两两相对地重复。1和2打的要记录，2和1打的也要记录。
那么接下来就好办事了，这样一把题目分析，就找到了运用分治算法解题的思路，就是从左上角开始，用一个递推将整个表计算出来。

算法分析：
首先是设置递推边界，即将模拟数组左上角的第一个数为1，然后递推构造左上角，将左上角乘以2再复制到右上角，最后分别构造左下和右下。
得到递推式：
以a为模拟数组，设置一个half变量来记录所需复制的表格块的大小（此处为关键点）；

构造右上角：a[i][j+half]=a[i][j]+half；
构造左下角：a[i+half][j]=a[i][j+half];
构造右下角：a[i+half][j+half]=a[i][j];

由于是复制左上和右上角的数据，所以构造右上角要写在前面。

显而易见，总共需要构造的轮数恰好是2的指数级别，也就是说每多构造一次表格的长和宽都会乘以2。
因此，我们的主体循环结构只用循环M次。
为了再每个循环中构造新的部分，我们必须设置一个关键变量half来控制每次增加的表格块，每次循环乘以2，对应表格的大小。
得到如下核心代码：

　　a[0][0]=1;
    while(k<=m)
    {
        for(int i=0;i<half;i++)
            for(int j=0;j<half;j++)
                a[i][j+half]=a[i][j]+half;//构造右上角
 
        for(int i=0;i<half;i++)
            for(int j=0;j<half;j++)
            {
                a[i+half][j]=a[i][j+half];//构造左下角
                a[i+half][j+half]=a[i][j];//构造右下角
            }
        half*=2;
        k++;
    }

　有一个骚操作我必须要讲，因为某个二进制位每向左移一位，相应的十进制数就会增大2倍！这个操作可以极大地优化代码的时间复杂度，省去了用循环求2的n次方步骤。

样例代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<string>
#define INF 999999999
#define N 1001
#define MOD 1000000007
using namespace std;
int a[N][N];
int main()
{
    int m;
    int k=1,half=1;
    cin>>m;
 
    int n=1<<m;
    a[0][0]=1;
    while(k<=m)
    {
        for(int i=0;i<half;i++)
            for(int j=0;j<half;j++)
                a[i][j+half]=a[i][j]+half;
 
        for(int i=0;i<half;i++)
            for(int j=0;j<half;j++)
            {
                a[i+half][j]=a[i][j+half];
                a[i+half][j+half]=a[i][j];
            }
        half*=2;
        k++;
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<n;j++)
            printf("%d ",a[i][j]);
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

2019-02-12 13:41:52