【定义与概念】
给定一张有向图，若其中存在一个环的所有权值之和为负数，这个环称为负环。
【算法实现】
当然，负环的求解可以暴搜，但是时间复杂度就难以入眼了，我们回到求解单源最短路径算法上面，看看它们能否求解。
我们知道
| 算法名称 | 能否处理负边 | 时间复杂度 |
| Dijkstra | 不能，负权的存在使得最短路径不一定最短 | O(n^2) |
| 堆优化Dijkstra | 不能，如上 | O(mlogn) |
| Bellman-Ford | 能 | O(nm) |
| SPFA | 能 | O(km) |
我们主要使用SPFA，讲一下SPFA判断负环。
SPFA有三种以上的方法判断负环：
- 设cnt[x]表示1~x的最短路径包含边数，cnt[1]=0。当收敛边权（判断三角形不等式）时，更新cnt[y]=cnt[x]+1。如果某时cnt[x]>=边的总数m，说明存在负环。
- 记录每个点入队的次数，如果某个点入队次数超过点的总数n，说明存在最小环。
- 卡时判负环，判负环最骚的操作。给队列总长度做限制，超过限制说明有环。至于这个限制具体是什么，请去问玄学，我不知道。
给出第一、二种解法的参考吧。
拿道板子题出来。
P3385 【模板】负环
注意这道题鬼畜的输出。。。
这是第一种： 573ms / 5.04MB AC
1 #include<cstdio> 2 #include<iostream> 3 #include<cmath> 4 #include<queue> 5 #include<algorithm> 6 #include<cstring> 7 #include<vector> 8 #include<ctime> 9 #define N 10010 10 using namespace std; 11 priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > q; 12 int head[N],tot,n,m,d[N],cnt[N]; 13 struct rec{ 14 int next,ver,edge; 15 }g[N<<1]; 16 void add(int x,int y,int val){ 17 g[++tot].ver=y,g[tot].edge=val; 18 g[tot].next=head[x],head[x]=tot; 19 } 20 bool spfa(int x) 21 { 22 memset(d,0x3f,sizeof(d)); 23 memset(cnt,0,sizeof(cnt)); 24 d[x]=0;cnt[x]=1; 25 q.push(x); 26 while(q.size()) 27 { 28 int index=q.top();q.pop(); 29 for(int i=head[index];i;i=g[i].next){ 30 int y=g[i].ver,z=g[i].edge; 31 if(d[y]>d[index]+z){ 32 d[y]=d[index]+z; 33 cnt[y]=cnt[index]+1; 34 if(cnt[y]>=m) return 1; 35 q.push(y); 36 } 37 } 38 } 39 return 0; 40 } 41 int main() 42 { 43 int t; 44 cin>>t; 45 while(t--) 46 { 47 memset(g,0,sizeof(g)); 48 memset(head,0,sizeof(head)); 49 if(!q.empty()) q.pop(); 50 tot=0; 51 scanf("%d%d",&n,&m); 52 for(int i=1;i<=m;i++){ 53 int x,y,val; 54 scanf("%d%d%d",&x,&y,&val); 55 if(val<0) add(x,y,val); 56 else add(x,y,val),add(y,x,val); 57 } 58 if(spfa(1)) cout<<"YE5"<<endl; 59 else cout<<"N0"<<endl; 60 } 61 return 0; 62 }
这是第二种：1965ms / 9.04MB 91pnts
1 #include<cstdio> 2 #include<iostream> 3 #include<cmath> 4 #include<queue> 5 #include<algorithm> 6 #include<cstring> 7 #include<vector> 8 #define N 10010 9 using namespace std; 10 priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > q; 11 int head[N],tot,n,m,d[N],cnt[N]; 12 struct rec{ 13 int next,ver,edge; 14 }g[N<<1]; 15 void add(int x,int y,int val){ 16 g[++tot].ver=y,g[tot].edge=val; 17 g[tot].next=head[x],head[x]=tot; 18 } 19 bool spfa(int x) 20 { 21 memset(v,0,sizeof(v)); 22 memset(d,0x3f,sizeof(d)); 23 memset(cnt,0,sizeof(cnt)); 24 d[x]=0;cnt[x]=1; 25 q.push(x); 26 while(q.size()) 27 { 28 int index=q.top();q.pop(); 29 for(int i=head[index];i;i=g[i].next){ 30 int y=g[i].ver,z=g[i].edge; 31 if(d[y]>d[index]+z){ 32 d[y]=d[index]+z; 33 if(cnt[y]>=n) return 1; 34 cnt[y]++,q.push(y),v[y]=1; 35 } 36 } 37 } 38 return 0; 39 } 40 int main() 41 { 42 int t; 43 cin>>t; 44 while(t--) 45 { 46 memset(g,0,sizeof(g)); 47 memset(head,0,sizeof(head)); 48 if(!q.empty()) q.pop(); 49 tot=0; 50 scanf("%d%d",&n,&m); 51 for(int i=1;i<=m;i++){ 52 int x,y,val; 53 scanf("%d%d%d",&x,&y,&val); 54 if(val<0) add(x,y,val); 55 else add(x,y,val),add(y,x,val); 56 } 57 if(spfa(1)) cout<<"YE5"<<endl; 58 else cout<<"N0"<<endl; 59 } 60 return 0; 61 }