欧拉定理概述

欧拉定理

【前言】

欧拉定理挺好玩的。但是一般就用来优化模算术下的乘方运算，没啥意思。不过它的性质比较有意思，在很多模算术带乘方的玩意里有奇效。更何况欧拉函数其本身就比较神奇。

前置技能：容斥，数论基础，同余基础。

【欧拉函数】

欧拉函数(varphi(n))表示(1sim n)中与(n)互质的数的个数。

给出数学定义如下

[varphi(n)=sum_{i=1}^n[gcd(i,n)==1] ]

其中([x])表示艾弗森约定。

欧拉函数是积性函数，即对于(forall n,p)，若(gcd(n,p)=1)，则有(varphi(np)=varphi(n)*varphi(p))。

显然，对于任意质数(p)，有

[varphi(p)=p-1 ]

而对于任意整数，不难给出一个计算公式如下

若算数基本定理即(n=p_1^{c_1}p_2^{c_2}dots p_m^{c_m})成立，则有

[varphi(n)=n*prod_{i=1}^m(1-frac{1}{p_i}) ]

证明：

设(a,b)与(n)互质，则满足(a mid n)的(a)有(large frac{n}{a})个，满足(b mid n)的(b)有(largefrac{n}{b})个。根据容斥原理，(1sim n)中不能被(a,b)中任意一个数整除的数共有(large n-(frac{n}{a}+frac{n}{b})+frac{n}{ab})个，即(large n*(1-frac{1}{a})*(1-frac{1}{b}))个。（有木有二项式定理的影子？）

推广至一般，对于(n)的所有质因数，我们使用容斥定理即可得到欧拉函数。

代码实现

根据以上分析，不难想到在分解质因数时(O(sqrt{n}))求(varphi(n))

inline int phi(int n)
{
	int ans=n;
	for(int i=2;i<=sqrt(n);++i){
		if(n%i==0){
			ans=ans/i*(i-1);
			while(n%i==0) n/=i;
		}
	}
	if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
	return ans;
}

利用欧拉筛，(O(n))求(1sim n)的所有(varphi)函数的值

inline void init(int n)
{
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;++i){
		if(!v[i]){phi[i]=i-1;p[++cnt]=i;}
		for(int j=1;j<=cnt;++j){
			if(p[j]>n/i) break;
			v[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0){
				phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];break;
			}
			phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
		}
	}
}

证明：

根据算数基本定理(n=p_1^{c_1}p_2^{c_2}dots p_m^{c_m})，

设(p_1)为(n)的最小质因子，则在欧拉筛过程中，存在(n')，使得(n'=frac{n}{p_1})，即(n)是由(n'*p_1)筛出来的。

对于(n' ~mod ~p_1=0)，显然有(c_1>1)，那么(n')含有(n)的所有质因子，即

[egin{align}varphi(n)&=n*prod_{i=1}^m(1-frac{1}{p_i})\&=n'*p_1*prod_{i=1}^m(1-frac{1}{p_i})\&=p_1*varphi(n')end{align} ]

对于(n'~mod~p ot= 0)，显然有(c_1=1)，那么(n')不包含(p_1)，故(gcd(n',p_1)=1)

又由于(varphi(n))为积性函数，则有

[varphi(n)=varphi(p_1)*varphi(n')=(p_1-1)*varphi(n') ]

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【欧拉定理】

若(a,p)互质，则有

[a^{varphi(p)}equiv 1 pmod p ]

证明：

设({overline {x_1} ,overline {x_2},dots ,overline {x_{psi(p)}}})为(p)的简化剩余系，即(varphi(p))个与(p)互质的数表示的同余类的集合。

若存在一组(x_i,x_j(x_i ot= x_j))，使得(ax_iequiv ax_j pmod p)，即(a(x_i-x_j)equiv 0 pmod p)，由(a)与(p)互质得到(x_iequiv x_j pmod p)。那么，由于该简化剩余系关于模(p)乘法封闭，可知({overline {x_1} ,overline {x_2},dots ,overline {x_{varphi(p)}}})中任意元素都满足上述性质。则有({{overline {ax_1} ,overline {ax_2},dots ,overline {ax_{varphi(p)}}}})为(p)的一个简化剩余系。

由于(x_1,x_2dots x_{varphi(p)})都与(p)互质，得到

[{x_1} {x_2}dots {x_{varphi(p)}} equiv {ax_1} {ax_2}dots {ax_{varphi(p)}} pmod p ]

即

[{x_1} {x_2}dots {x_{varphi(p)}} equiv a^{varphi(p)}( {x_1}{x_2}dots {x_{varphi(p)}}) pmod p\a^{varphi(p)} equiv 1 pmod p ]

推论

一

[a^{b}=a^{b ~ mod ~ varphi(p)} pmod p ]

证明：

当(a,p)互质时，设(b=k*varphi(p)+r)，则有(r=b mod varphi(p))。

[a^b=a^{k*{varphi(p)+r}}=(a^{varphi(p)})^k*a^r=1^k*a^{b ~mod~ varphi(p)}=a^{b ~mod~ varphi(p)} ]

而当(a,p)不一定互质时，若(b>=varphi(p))，则有(a^{b}=a^{b ~ mod ~ varphi(p)+varphi(p)} pmod p)

证明：

由抽屉原理，对于任意(x~mod ~p,x>p)，至多有(x+1)种余数。即(a^b ~mod ~p)存在指数循环节，其循环节长度为(varphi(p))，该式可写作

[a^b=a^0a^1cdots a^{varphi(p)} a^{varphi(p)+1}cdots a^{varphi(p)+varphi(p)}cdots pmod p ]

用这个推论即可解决(a^b~mod ~p)，当(a,b)都很大的情况。

板子：P5091

二

似乎很多人称之为欧拉反演？

对于任意正整数(n)，有

[sum_{dmid n}varphi(d)=n ]

证明：

由于对于一个质数(p)，有

[varphi(p)=p-1 ]

与(kp)不互质的数为(1,p,2p,3p,4p,cdots ,kp)，显然有(k+1)个，那么根据(varphi)定义，有

[varphi(kp)=k(p-1) ]

（可以从这里看出(varphi(n))为积性函数）

而对于(p^k)，与它不互质的数为(1,p,p^2,p^3,cdots,p^k)，于是

[varphi(p^k)=p^{k-1}(p-1) ]

那么

[egin{align} sum_{dmid p^k}varphi(d) &=1+varphi(p)+varphi(p^2)+cdots+varphi(p^k)\ &=1+(p-1)+p(p-1)+p^2(p-1)+cdots+p^{k-1}(p-1)\ &=p^k end{align} ]

由(varphi(n))为积性函数，且(p^k)与除(p^{k'})外的所有数互质，得到(sum_{dmid n}varphi(d)=n)。

证毕。

用这个推论可以解决一些比较神奇的数论题。

三

(forall n>1,1sim n)中所有互质的数的和为(n*varphi(n)/2)。

待更,虽然基本上没啥了,后续会更新一些题目。