[算法]死磕递归和动态规划专题算法

最近在忙着找实习，因而做了大量的笔试算法题，阿里，网易，腾讯，华为，发现各大厂商都喜欢出递归和动态规划题，而且出的特别多，这种题以前一直没有搞懂，总是半懂状态，现在感觉有必要好好整理一下。

1. 斐波那契数列

谈到递归问题，我们不妨先从斐波那契数列开始，这个大家应该都不陌生吧，1,1,2,3,5,8......除了第一项和第二项为1外，对于第N项，有F(N) = F(N - 1) + F(N - 2)。

我们先看一下暴力求解，其时间复杂度为O(2^N)：

public static int f1(int n) {
        if(n < 1){
            return 0;
        }
        if(n == 1 || n == 2){
            return 1;
        }
        return f1(n - 1) + f1(n - 2);
}

当然我们可以优化成时间复杂度为O(N)，如下：a,b=b,a+b

public static int f2(int n){
        if(n < 1){
            return 0;
        }
        if(n == 1 || n == 2){
            return 1;
        }
        int pre = 1;//第一个
        int res = 1;//第二个
        int temp = 0;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            temp = res;
            res += pre;
            pre = temp;
        }
        return res;
}

当然这道题还可以进一步优化成时间复杂度O(logN)，采用矩阵乘法，这里就不说了，一般O(N)足够了。我们通过这道题总结规律，递归问题，进入一个方法，先写出一个终止条件，然后根据题目，找出递推关系，进行递归。

同类型的题目有台阶问题和生兔子问题。

2. 台阶问题

有n级台阶，一个人每次上一级或者两级，问有多少种走完N级台阶的方法。为了防止溢出，请将结果Mod 1000000007。

给定一个正整数int N，请返回一个数，代表上楼的方式数。保证N小于等于100000。

这道题类似于斐波那契数列，跳上N级台阶的情况，要么是从N-2级台阶直接跨2级台阶，要么是从N-1级台阶跨1级台阶，即转移方程是f(N) = f(N - 1) + f(N - 2)，状态方程为f(1) = 1，f(2) = 2。

类比上一道题，得到两种求解方法如下：

时间复杂度为O(2^N)：

public static int f1(int n) {
        if(n < 1){
            return 0;
        }
        if(n == 1 || n == 2){
            return n;
        }
        return f1(n - 1) + f1(n - 2);
}

时间复杂度为O(N)：a,b=b,a+b

public static int f2(int n){
        if(n < 1){
            return 0;
        }
        if(n == 1 || n == 2){
            return n;
        }
        
        int pre = 1;//第一个数
        int res = 2;//第二个数
        int temp = 0;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            temp = res;
            res += pre;
            pre = temp;
        }
        
        return res;
}

变态跳台阶

一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……也可以跳上n级。求跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

public class Solution {
    public int JumpFloorII(int target) {
        if(target == 1){
            return 1;
        }
        return JumpFloorII(target - 1) * 2;
    }
}

3. 生兔子问题

假设成熟的兔子每年生1只兔子，并且永远不会死，第一年有1只成熟的兔子，从第二年开始，开始生兔子，每只小兔子3年之后成熟又可以继续生。给出整数N，求出N年后兔子的数量。

时间复杂度为O(2^N)：

public static int f1(int n) {
        if(n < 1){
            return 0;
        }
        if(n == 1 || n == 2 || n == 3){
            return n;
        }
        return f1(n - 1) + f1(n - 3);
}

时间复杂度为O(N)：a,b,c=b,c,a+c

public static int f2(int n){
        if(n < 1){
            return 0;
        }
        if(n == 1 || n == 2 || n == 3){
            return n;
        }
        
        int prepre = 1;//第一个数
        int pre = 2;//第二个数
        int res = 3;//第三个数 
        int temp1 = 0;
        int temp2 = 0;
        for (int i = 4; i <= n; i++) {
            temp1 = pre;
            temp2 = res;
            res += prepre;
            prepre = temp1;
            pre = temp2;
        }
        return res;
}

4. 找零钱问题

有数组arr，arr中所有的值都为正数且不重复。每个值代表一种面值的货币，每种面值的货币可以使用任意张，再给定一个整数aim(小于等于1000)代表要找的钱数，求换钱有多少种方法。

给定数组arr及它的大小(小于等于50)，同时给定一个整数aim，请返回有多少种方法可以凑成aim。

测试样例：

[1,2,4],3

返回：2

所有的动态规划题本质都是优化后的暴力求解，一般动态规划题是构造一个dp矩阵，第一行和第一列赋初值，然后根据递推关系，由一个个子问题求出整个问题，即把剩余位置的值填满，说白了就是空间换时间。因为暴力求解会有大量的重复计算，动态规划可以有效地避免重复计算。

比如找零钱问题，我们可以看成0个arr[0]，让剩余的组成aim，1个arr[0]，让剩余的组成aim - 1 * arr[0]，2个arr[0]，让剩余的组成aim - 2 * arr[0]，以此类推。为什么会产生重复计算，是因为比方我用了1个10元，0个5元，然后让剩下的组成aim - 10和我用0个10元，2个5元，让剩下的组成aim - 10本质是一样的。

暴力求解法：

public static int process1(int[] arr, int index, int aim){
        int res = 0;
        if(index == arr.length){
            res = aim == 0 ? 1 : 0;
        }else{
            for (int i = 0; i * arr[index] <= aim; i++) {
                res += process1(arr, index + 1, aim - i * arr[index]);
            }
        }
        return res;
}

动态规划法：

首先思考如何设计dp矩阵，这里我们把行设置成arr下标，代表的就是利用[0...i]区间内组成aim的值的方法数，列代表的是aim值，从0取到aim。

我们先给第一列赋值，因为aim是0，所以只有一种组合方式，就是每个价值的纸币都取0个，所以第一列全取1。

接下来看第一行，就是求arr[0]能够凑成的钱的方案，只要是其倍数的都能凑成，所以相应位置应该填写1。

最后我们确定其他位置，完全不用arr[i]货币，只用剩下的，则方法数dp[i - 1][j].

用1个arr[i]，方法数是dp[i - 1][j - 1 * arr[i]]。

用2个arr[i]，方法数是dp[i - 1][j - 2 * arr[i]]。

以此类推，是上面那一行，经过化简，可以简化成dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - arr[i]]。这就是状态转移方程。

public static int process2(int[] arr, int aim){
        int[][] dp = new int[arr.length][aim + 1];
        
        //先赋值第一列，全是1
        for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
            dp[i][0] = 1;
        }
        //再赋值第一行
        for (int i = 1; i * arr[0] <= aim; i++) {
            dp[0][ i * arr[0]] = 1;
        }
        
        //给所有元素赋值
        for (int i = 1; i < dp.length; i++) {
            for (int j = 1; j < dp[i].length; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                dp[i][j] += j - arr[i] >= 0 ? dp[i][j - arr[i]] : 0;
            }
        }
        
        return dp[arr.length - 1][aim];
}

5. 矩阵最小路径

有一个矩阵map，它每个格子有一个权值。从左上角的格子开始每次只能向右或者向下走，最后到达右下角的位置，路径上所有的数字累加起来就是路径和，返回所有的路径中最小的路径和。

给定一个矩阵map及它的行数n和列数m，请返回最小路径和。保证行列数均小于等于100.

测试样例：

[[1,2,3],[1,1,1]],2,3

返回：4

public int minPathSum(int[][] m){
        int row = m.length;
        int col = m[0].length;
        
        int[][] dp = new int[row][col];
        dp[0][0] = m[0][0];
        
        //给行初始化
        for (int i = 1; i < row; i++) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + m[i][0];
        }
        
        //给列初始化
        for (int i = 1; i < col; i++) {
            dp[0][i] = dp[0][i - 1] + m[0][i];
        }
        
        //给剩余元素初始化
        for (int i = 1; i < row; i++) {
            for (int j = 1; j < col; j++) {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + m[i][j];
            }
        }
        return dp[row - 1][col - 1];
}

6. 最长递增子序列

这是一个经典的LIS(即最长上升子序列)问题，请设计一个尽量优的解法求出序列的最长上升子序列的长度。

给定一个序列A及它的长度n(长度小于等于500)，请返回LIS的长度。

测试样例：

[1,4,2,5,3],5

返回：3

public static int[] getLIS(int[] A) {
        // write code here
        List<Integer> list = new ArrayList<>();
        
        int[] dp = new int[A.length];
        dp[0] = 1;
        
        for (int i = 1; i < dp.length; i++) {
            dp[i] = 1;
            for(int j = 0; j < i; j++){
                if(A[j] < A[i]){
                    dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            }
        }
        
        int maxIndex = dp.length - 1;
        for (int i = dp.length - 2; i >= 0; i--) {
            if(dp[i] > dp[maxIndex]){
                maxIndex = i;    
            }
        }
        
        list.add(A[maxIndex]);
        for (int i = maxIndex - 1; i >= 0; i--) {
            if(A[maxIndex] > A[i] && dp[maxIndex] == dp[i] + 1){
                list.add(A[i]);
                maxIndex = i;
            }
        }
        
        int[] nums = new int[list.size()];
        for(int i = 0; i < nums.length; i++){
            nums[nums.length - 1 - i] = list.get(i);
        }
        return nums;
    }

7. 最长公共子序列

给定两个字符串A和B，返回两个字符串的最长公共子序列的长度。例如，A="1A2C3D4B56”，B="B1D23CA45B6A”，”123456"或者"12C4B6"都是最长公共子序列。

给定两个字符串A和B，同时给定两个串的长度n和m，请返回最长公共子序列的长度。保证两串长度均小于等于300。

测试样例：

"1A2C3D4B56",10,"B1D23CA45B6A",12

返回：6

public static String getLCS(String A, String B) {
        int dp[][] = new int[A.length()][B.length()];
        
        dp[0][0] = A.charAt(0) == B.charAt(0) ? 1 : 0;
        
        for (int i = 1; i < B.length(); i++) {
            dp[0][i] = Math.max(dp[0][i - 1], A.charAt(0) == B.charAt(i) ? 1 : 0);
        }
        
        for (int i = 1; i < A.length(); i++) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], A.charAt(i) == B.charAt(0) ? 1 : 0);
        }
        
        for (int i = 1; i < A.length(); i++) {
            for (int j = 1; j < B.length(); j++) {
                dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                if(A.charAt(i) == B.charAt(j)){
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 1][j - 1] + 1);
                }
            }
        }
        
        int num = dp[A.length() - 1][B.length() - 1];//最长公共子序列的长度
        
        System.out.println(num);
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        
        int m = A.length() - 1;
        int n = B.length() - 1;
        while(num > 0){
            if(m > 0 && dp[m - 1][n] == dp[m][n]){
                m--;
            }else if(n > 0 && dp[m][n - 1] == dp[m][n]){
                n--;
            }else{
                sb.insert(0, A.charAt(m));//因为此时A.charAt(m) == B.charAt(n)，所以选哪一个均可
                m--;
                n--;
                num--;
            }
        }
        
        return sb.toString();
}

8. 最长公共子串

注意和上一道题进行区分，公共子串必须连续。

dp[i][j]表示以两个字符串分别以第i和第j个字符结尾所能达到的公共子串的长度，

状态转移方程为

if(str[i-1]=str[j-1])

dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;

if(str[i-1]!=str[j-1])

dp[i][j]=0;

public static String getLCS(String A, String B) {
        int dp[][] = new int[A.length()][B.length()];
        
        dp[0][0] = A.charAt(0) == B.charAt(0) ? 1 : 0;
        
        for (int i = 1; i < A.length(); i++) {
            if(A.charAt(i) == B.charAt(0)){
                dp[i][0] = 1;
            }
        }
        
        for (int i = 1; i < B.length(); i++) {
            if(B.charAt(i) == A.charAt(0)){
                dp[0][i] = 1;
            }
        }
        
        for (int i = 1; i < A.length(); i++) {
            for (int j = 1; j < B.length(); j++) {
                if(A.charAt(i) == B.charAt(j)){
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                }
            }
        }
        
        
        //找出最大值，即为最长公共子串
        int max = 0;
        int index = 0;//记录A字符串最长公共子字符串最后一个位置
        for (int i = 0; i < A.length(); i++) {
            for (int j = 0; j < B.length(); j++) {
                if(dp[i][j] > max){
                    max = dp[i][j];
                    index = i;
                }
            }
        }
        
        return A.substring(index - max + 1, index + 1);
}

9. 最长回文子字符串

回文字符串的子串也是回文，比如P[i,j]（表示以i开始以j结束的子串）是回文字符串，
那么P[i+1,j-1]也是回文字符串。这样最长回文子串就能分解成一系列子问题了。
这样需要额外的空间O（N^2)，算法复杂度也是O(N^2)。 首先定义状态方程和转移方程：
P[i,j]=0表示子串[i,j]不是回文串。P[i,j]=1表示子串[i,j]是回文串。
P[i,i]=1
P[i,j]｛=P[i+1,j-1],if(s[i]==s[j])
=0 ,if(s[i]!=s[j])}

public static String longestPalindrome(String s){
        if(s == null || s.length() == 1){
            return s;
        }
        int len = s.length();
        //dp[i][j]=1 表示子串i-j为回文字符串
        int[][] dp = new int[len][len];
        
        int start = 0;
        int maxlen = 0;
        
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            dp[i][i] = 1;
            if(i < len - 1 && s.charAt(i) == s.charAt(i + 1)){
                dp[i][i + 1] = 1;
                start = i;
                maxlen = 2;
            }
        }
        
        //m代表最长子串长度
        for (int m = 3; m <= len; m++) {
            for (int i = 0; i < len - m + 1; i++) {
                int j = i + m - 1;
                if(dp[i + 1][j - 1] == 1 && s.charAt(i) == s.charAt(j)){
                    dp[i][j] = 1;
                    start = i;
                    maxlen = m;
                }
            }
        }
        
        
        return s.substring(start, start + maxlen);
}

private static int maxLen = 0;

private static String sub = "";

public static String longestPalindrome(String s) {
        if(s.length() <= 1)
            return s;

        for(int i = 0;i < s.length()-1;i++){

            findLongestPalindrome(s,i,i);//单核回文

            findLongestPalindrome(s,i,i+1);//双核回文
        }
        return sub;
    }
    public static  void findLongestPalindrome(String s,int low,int high){
        while (low >= 0 && high <= s.length()-1){
            if(s.charAt(low) == s.charAt(high)){
                if(high - low + 1 > maxLen){
                    maxLen = high - low + 1;
                    sub = s.substring(low , high+1);
                }
                low --;//向两边扩散找当前字符为中心的最大回文子串
                high ++;
            }
            else
                break;
        }
    }

10. 0-1背包问题（完全背包、多重背包）

一个背包有一定的承重cap，有N件物品，每件都有自己的价值，记录在数组v中，也都有自己的重量，记录在数组w中，每件物品只能选择要装入背包还是不装入背包，要求在不超过背包承重的前提下，选出物品的总价值最大。

给定物品的重量w价值v及物品数n和承重cap。请返回最大总价值。

测试样例：

[1,2,3],[1,2,3],3,6

返回：6

第一，包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)；

第二，还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个，即V(i,j)=max｛ V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝

其中V(i-1,j)表示不装，V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示装了第i个商品，背包容量减少w(i)但价值增加了v(i)；

由此可以得出递推关系式：

1) j<w(i)      V(i,j)=V(i-1,j)

2) j>=w(i)     V(i,j)=max｛ V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝

填表，首先初始化边界条件，V(0,j)=V(i,0)=0；

 

 然后一行一行的填表，示例：

 

public static int[] maxValue(int[] w, int[] v, int cap) {
        // write code here
        int[][] dp = new int[w.length + 1][cap + 1];

        // 第一行和第一列不用赋初值，因为都是0
        for (int i = 1; i <= w.length; i++) {
            for (int j = 1; j <= cap; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                if (j >= w[i - 1]) {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i - 1]] + v[i - 1]);
                }
            }
        }

        int maxValue = dp[w.length][cap];// 获取的最大价值

        /**
         * 到这一步，可以确定的是可能获得的最大价值，但是我们并不清楚具体选择哪几样物品能获得最大价值。
         * 
         * 另起一个 x[] 数组，x[i]=0表示不拿，x[i]=1表示拿。
         * 
         * dp[n][c]为最优值，如果dp[n][c]=dp[n-1][c] ,说明有没有第n件物品都一样，则x[n]=0 ; 否则
         * x[n]=1。当x[n]=0时，由dp[n-1][c]继续构造最优解；当x[n]=1时，则由dp[n-1][c-w[i]]继续构造最优解。以此类推，可构造出所有的最优解。
         */
        int[] x = new int[w.length + 1];//不看0位，为了和矩阵对应，x[0]不用看
        
        for (int i = w.length; i > 1; i--) {
            if(dp[i][cap] == dp[i - 1][cap]){
                x[i] = 0;
            }else{
                x[i] = 1;
                cap -= w[i - 1];
            }
        }
        
        x[1] = dp[1][cap] > 0 ? 1 : 0;

        return x;
}

 这个其实可以优化的，优化成：

https://blog.csdn.net/sun897949163/article/details/49559679

https://blog.csdn.net/tinyguyyy/article/details/51203935

01背包问题空间压缩版：

package com.darrenchan.dp;

import java.util.Arrays;

/**
 * 空间压缩版01背包问题
 * 
 * @author Think
 *
 */
public class Backpack01 {

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(maxValue(new int[] { 15, 10, 12, 8 }, new int[] { 12, 8, 9, 5 }, 30));
    }

    public static int maxValue(int[] w, int[] v, int cap) {
        int[] dp = new int[cap + 1];

        for (int i = 0; i < w.length; i++) {
            for (int j = cap; j >= w[i]; j--) {// 倒序遍历
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
            }
        }

        int maxValue = dp[cap];// 获取的最大价值
        System.out.println(Arrays.toString(dp));

        return maxValue;
    }
}

完全背包问题空间压缩版：

package com.darrenchan.dp;

import java.util.Arrays;

/**
 * 空间压缩版完全背包问题
 * 
 * @author Think
 *
 */
public class BackpackComplete {

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(maxValue(new int[] { 15, 10, 12, 8 }, new int[] { 12, 8, 9, 5 }, 30));
    }

    public static int maxValue(int[] w, int[] v, int cap) {
        int[] dp = new int[cap + 1];

        for (int i = 0; i < w.length; i++) {
            for (int j = w[i]; j <= cap; j++) {// 正序遍历
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
            }
        }

        int maxValue = dp[cap];// 获取的最大价值
        System.out.println(Arrays.toString(dp));

        return maxValue;
    }
}

多重背包问题空间压缩版：

package com.darrenchan.dp;

import java.util.Arrays;

/**
 * 空间压缩版多重背包问题
 * 
 * n是每一个物品的个数
 * @author Think
 *
 */
public class BackpackMultiple {

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(maxValue(new int[] { 15, 10, 12, 8 }, new int[] { 12, 8, 9, 5 },new int[]{1,1,1,1}, 30));
    }

    public static int maxValue(int[] w, int[] v,int[] n, int cap) {
        int[] dp = new int[cap + 1];

        for (int i = 0; i < w.length; i++) {
            for (int k = 0; k <= n[i]; k++) {
                for (int j = cap; j >= k * w[i]; j--) {// 倒序遍历
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - k * w[i]] + k * v[i]);
                }
            }
        }

        int maxValue = dp[cap];// 获取的最大价值
        System.out.println(Arrays.toString(dp));

        return maxValue;
    }
}

11. 最长整除子序列

给出一个由无重复的正整数组成的集合, 找出其中最大的整除子集, 子集中任意一对 (Si, Sj) 都要满足: Si % Sj = 0 或 Sj % Si = 0。

如果有多个目标子集，返回其中任何一个均可。（LeetCode 368）类比最长递增子序列。

示例 1:

集合: [1,2,3]

结果: [1,2] (当然, [1,3] 也正确)

 示例 2:

集合: [1,2,4,8]

结果: [1,2,4,8]

public List<Integer> largestDivisibleSubset(int[] nums) {
         // write your code here
        List<Integer> list = new ArrayList<Integer>();
        if(nums == null || nums.length == 0){
            return list;
        }
        Arrays.sort(nums);
        int[] dp = new int[nums.length];
        dp[0] = 1;

        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            for (int j = i - 1; j >= 0; j--) {
                if (nums[i] % nums[j] == 0) {
                    dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            }
        }

        int maxIndex = nums.length - 1;
        for (int i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
            maxIndex = dp[i] > dp[maxIndex] ? i : maxIndex;
        }

        list.add(nums[maxIndex]);//最大的那个值
        for (int i = maxIndex - 1; i >= 0; i--) {
            if (nums[maxIndex] % nums[i] == 0 && dp[maxIndex] == dp[i] + 1) {
                list.add(nums[i]);
                maxIndex = i;
            }
        }

        return list;
    }

12. 寻找和为定值的多个数

题目：输入两个整数n和sum，从数列1，2，3.......n 中随意取几个数，使其和等于sum，要求将其中所有的可能组合列出来。

思路：

我们设置flag背包，用来标注对应的n+1是否被选中，1表示被选中，0则表示未选中，每当满足m==n时，则输出一组解。

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.Scanner;

public class SearchSomeSureValue {
    static int length;
    static void findCombination(int n,int m,int flagI[]){
        if (n<1||m<1) {
            return;
        }
        if (n>m) {
            n=m;
        }
        if (n==m) {
            flagI[n-1]=1;
            for (int i = 0; i < length; i++) {
                if (flagI[i]==1) {
                    System.out.print(i+1+" ");
                }
                
            }
            System.out.println();
            flagI[n-1]=0;
        }
        
        flagI[n-1]=1;
        findCombination(n-1, m-n, flagI);
        
        flagI[n-1]=0;        
        findCombination(n-1, m, flagI);
    }
    public static void main(String[] args) {
        int n,m;
        Scanner s=new Scanner(System.in);
        n=s.nextInt();
        m=s.nextInt();
        length=n;
        int[] flag=new int[n];
        findCombination(n, m, flag);
    }
}