一些数学公式

n的所有正约数的和为 (prod_{i=1}^{m}{(sum_{j=0}^{c_i}{(p_i^j)})})

费马小定理：若p为质数对于任意整数a(a^pequiv a (mod p)) 若a不为p的倍数((a^{p-1}equiv 1 (mod p)))

欧拉定理：若正整数a,n互质，则(a^{varphi(n)}equiv1(mod n))

欧拉定理推论：若正整数a,n互质，则对于任意整数b，有(a^bequiv a^{b mod varphi(n)}(mod n))

若a mod p=x,a mod q=x,其中p,q互质,则(a mod (pq)=x)

扩展欧几里得算法定理一：设a,b不全为0,则存在整数x,y,使得(ax+by=gcd(a,b))

扩展欧几里得算法定理二：对于不定方程(ax+by=c)当且仅当(gcd(a,b)|c)时，方程有整数解

中国剩余定理：

若(m_1,m_2 cdots m_n)是两两互质的正整数,(M=prod_{i=1}^{n}{m_i},M_i=M/m_i,ti)为线性同余方程(M_it_iequiv1(mod m))的一个解.对于任意个整数(a_1,a_2,a_3cdots a_n) 则同余方程组

(xequiv a_1(mod m_1))

(xequiv a2(mod m_2))

(cdotscdots)

(xequiv a_n(mod m_n))

有整数解为(x=a_1M_1t_1+a_2M_2t_2+a_3M_3t_3+cdots+a_nM_nt_n)并且在模M意义下有唯一解

排列数公式:(P^m_n=frac{n!}{(n-m)!})

组合数公式:(C^m_n=frac{n!}{((n-m)! imes m!)})
(C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^{m})
n个数分成m段(可为空)方案数为(C_{n+m-1}^{m-1})

Catalan数:(Cat_n=frac{1}{n+1} imes C^n_{2n})
1.n个左括号和n个右括号组成的合法括号序列的个数为(Cat_n)
2.1,2(cdots)n经过一个栈,形成的合法出栈序列个数为(Cat_n)
3.n个节点构成的不同二叉树的数量为(Cat_n)
4.在平面直角坐标系上,每一步只能向上或向右走,从(0,0）到(n,n)并且除两个端点外不接触直线y=x的路线数为(2 imes Cat_{n-1})

卢卡斯定理:(lucas(n,m)mod p=lucas(n/p,m/p)*C(n mod p,m mod p)mod p;p为质数)

求阶乘的乘法逆元，先将(n!)的乘法逆元求出，然后(a!)的逆元就是(a*inv[a+1] mod mo)

(p)为质数,如果(p|x)(为质数)

(phi(x*p)=phi(x)*p)

否则(phi(x*p)=phi(x)*(p-1))