欧几里得算法（辗转相除法） 证明及复杂度分析

欧几里得算法核心：

gcd( a , b ) = gcd( b , a%b ) ，其中 gcd 表示 a 和 b 的最大公约数；

证明：

设 a 和 b 的最大公约数为 c ；
则有 c = gcd( a , b ) ;
设 a = x * c , b = y * c , 其中 x 与 y 互质 （因为 c 是最大公约数）
设 g = a%b = a - i * b = (x - i * y ) * c , 其中 i = [ a / b ] ,向下取整 ；
又 b = y * c ， 且易得 x - i * y 与 y 互质；（下面会证明）
则有 b 与 g 的最大公约数为 c ,
又 g = a%b，
则 gcd( a, b ) = gcd( b , a%b );

接下来，证明 x - i * y 与 y 互质 ,
反证法：
设 x - i * y 与 y 不互质；
则 x - i * y 与 y 存在最大公约数 k ( k>1 ) ;
设 x - i * y = n * k, y = m * k, 其中 n 和 m 互质；
把 y = m * k, 代入 x 中 得：
x = (n + i * m ) * k
又 y = m * k ,
故 x 与 y 不互质 ，与 上述证明矛盾（前面设x，y是互质的）；
所以 x - i * y 与 y 互质 ；

证毕；

gcd( a , b ) = gcd( b , a%b )，求解 a、b 的最大公约数 ，化为 求解b 、a%b 的最大公约数；

符合递归 大问题化成小问题 求解的特性（也可以用循环求解） ;

当前递归到 a%b == 0时（b 整除 a）， 即 下一次递归的 b‘ = 0;

下一次递归 的 a’ ，即为当前层 的 b，为最大公约数；

挂代码

int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

复杂度分析

若 a=b, 那么最大公约数就是b ;
若 a < b , 那么 经过一次操作后 gcd(a ,b) = gcd( b, a%b) = gcd( b , a );
此时， a’ = b, b’ = a % b , a’ > b’ ;

则还是来看 a > b 的情况：

1. a < 2 * b :
   设 a = 2k (乘号省略)，b = k + m (0<m<k);
   第一次操作 变为 gcd( k+m , k-m ) ; // ( a%b = a - i b )
   第二次操作 变为 gcd( k-m, r ) , r = (k+m)%(k-m) < k-m ;
   k-m < k = a/2;
   即两次操作 数据量 最差变为原来的一半，所以复杂度为 O(2logN) ;
2. a > 2 * b :
   设 a = 2k (乘号省略)，b = k - m (0<m<k);
   第一次操作就 变为 gcd (k-m, 2k%(k-m) );
   数据量变为原来一半；
3. a=2 * b
   最大公约数就是 max( b , 2) ;

综上，最坏时间复杂度 约为 O(2logN) ,去掉常数即为 O(logN) , 底数为 2；