cf 1453F. Even Harder (DP)

题目链接： 传送门

思路：

显然，这是一个DAG，而且1 2 3 ... n-1 n 是该图的一个拓扑序。

定义f(i,j)表示 唯一能到达 i 的路径, 满足 a[k] + k <= j , k∈[1,i) , 换言之 i 表示之前的点能覆盖到的标号最大的点 <= j . 

f(i,j+a_j) <-- f(j,i-1) + cnt_j , cntj 表示需要置零的点的数目，j∈[1,i-1) ， 由于 f(j,i-1) 的定义，那么[1,j）中所有能到达i 的点已经被删掉了，那么 还需要处理 (j, i) 的点，因此cntj = ∑^i-1_k=j+1 ( a[k] + k >= i)

该状态及转移方程能表示每种路径的唯一性，能避免转移时 既要考虑前面的点 又要考虑后面的点的后效性。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<LL,LL> pLL;
typedef pair<double,double> pdd;
const int N=3e3+5;
const int M=1e7+5;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const LL mod=998244353;
const double eps=1e-8;
const long double pi=acos(-1.0L);
#define ls (i<<1)
#define rs (i<<1|1)
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define eb emplace_back
#define mk make_pair
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
LL read()
{
    LL x=0,t=1;
    char ch;
    while(!isdigit(ch=getchar())) if(ch=='-') t=-1;
    while(isdigit(ch)){ x=10*x+ch-'0'; ch=getchar(); }
    return x*t;
}
int a[N],f[N][N];
int main()
{
    int T=read();
    while(T--)
    {
        int n=read();
        for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
        for(int i=2;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                f[i][j]=inf;
        for(int i=1;i<=n;i++) f[1][i]=0;
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            int cnt=0;
            for(int j=i-1;j;j--)
            {
                if(j+a[j]<i) continue;
                f[i][j+a[j]]=min(f[i][j+a[j]],f[j][i-1]+cnt);
                cnt++;
            }
            for(int j=2;j<=n;j++)
                f[i][j]=min(f[i][j],f[i][j-1]);
        }
        printf("%d
",f[n][n]);
    }
    return 0;
}