JZOJ6024. 【GDOI2019模拟2019.2.16】网格

Description

多组数据，1<=n,T<=5e5

Solution

• 通过找规律 我们发现我们可以将答案分为左上到右下，右上到左下两种吗，并且既不重复，也不遗漏。
• 例如：
  1100000
  1100000
  0010000
  0001110
  0001110
  0001110
  0000001
• 这个状态，最后必然合法。对于这个左上到右下的状态里面的每一个1构成的正方形，又分别是一个右上到左下的子状态。这样就不会重复了，如此交替直到边长为1。
• 于是我们设一个f[i]表示左上到右下的边长为i的正方形的方案数，由于对称，右上到左下是一样的。
• 那么就变成了一个组合的问题，我们可以n²解决。
• 发现组合的时候十分有规律性，将f生成函数一下。
• F(x)=sigma(a_i*xⁱ)，a_i即为f[i]。
• F(x)=sigma(F(x)ⁱ)[i为2~inf] + x
• 即将当前块分为2块、3块、…inf块，多项式相乘，最后再补上分一块的a₁++
• 解方程，首先等比数列求和，其中有一项为F(x)^inf=0。由于F(x)有意义的位只有小于等于n的，而且F(x)并没有常数项，所以在无数次后有意义的位数为0。
• 求根公式中有正负号，但是由于答案无常数项，所以只有减才能满足。
• 化简得F(x)=(x+1-sqrt(x²-6x+1))/4
• 多项式开根套上即可。最后答案即为f[n]*2。
• standing…