JZOJ5956.【NOIP2018模拟11.7A组】easy LCA

PROBLEM

给定一个n个节点的树，给定一个排列，求所有连续子段的节点的LCA的深度和。

SOLUTION

这题有很多种方法。

分治

考虑跨过区间中点的答案，从中线往两边扫，扫过左半边和右半边的LCA一定是在两条链上，那么合并这两条链上任意点对的答案，扫一遍就可以了。另外考虑O（1）求LCA，用欧拉序与RMQ可以做到总复杂度O(Nlog n)，只不过常数巨大。

一个性质

对于一个排列，任意相邻位置求LCA，所有LCA中深度最小的就是整个排列的LCA。因此我们可以把这个问题转化为区间最值问题。先将相邻的LCA求出来，如果一个位置为选定区间的LCA，那么这个区间里就不能有深度比它小的，找到左边第一个小于它的，右边第一个小于等于它的，避免算重，用一个单调栈来维护一下就好了。

3）线段树合并？

单调栈

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define maxn 600010
#define maxm 1200020
#define maxp 20
#define LL long long 
using namespace std;

int n,m,i,j,k,x,y,t,tot,lca,p[maxn],le[maxn],ri[maxn],b[maxn];
int em,e[maxm],nx[maxm],ls[maxn],dep[maxn],d[maxn],fa[maxn][maxp+1];
LL ans;

void read(int &x){
	x=0; char ch=getchar();
	for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar());
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0'; 
}

void insert(int x,int y){
	em++; e[em]=y; nx[em]=ls[x]; ls[x]=em;
	em++; e[em]=x; nx[em]=ls[y]; ls[y]=em;
}

void dfs(int x,int p){
	fa[x][0]=p,dep[x]=dep[p]+1;
	for(int i=1;i<=maxp;i++) fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
	for(int i=ls[x];i;i=nx[i]) if (e[i]!=p)
		dfs(e[i],x);
}

int getlca(int x,int y){
	if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
	for(int i=maxp;i>=0;i--) if (dep[fa[x][i]]>=dep[y])	x=fa[x][i];
	if (x==y) return x;
	for(int i=maxp;i>=0;i--) if (fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i];
	return fa[x][0];
}

int main(){
	freopen("easy.in","r",stdin);
	freopen("easy.out","w",stdout);
	read(n);
	for(i=1;i<n;i++){
		read(x),read(y);
		insert(x,y);
	}
	dfs(1,0);
	for(i=1;i<=n;i++) ans+=dep[i];
	for(i=1;i<=n;i++) read(p[i]);
	for(i=1;i<=n-1;i++) b[i]=getlca(p[i],p[i+1]);
	d[t=1]=0;
	for(i=1;i<=n-1;i++){
		while (t&&dep[b[d[t]]]>dep[b[i]]) t--;
		le[i]=d[t]+1;
		d[++t]=i;
	} 
	d[t=1]=0;
	for(i=n-1;i>=1;i--){
		while (t&&dep[b[d[t]]]>=dep[b[i]]) t--;
		if (d[t]==0) ri[i]=n-1;
		else ri[i]=d[t]-1;
		d[++t]=i;
	}
	for(i=1;i<=n-1;i++) ans+=(LL)(ri[i]-i+1)*(i-le[i]+1)*dep[b[i]];
	printf("%lld",ans);
}

T飞了的RMQ

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define maxn 600010
#define maxm 1200020
#define maxp 20
#define LL long long 
using namespace std;

int n,m,i,j,k,x,y,t,tot,lca,p[maxn],le[maxn],ri[maxn];
int em,e[maxm],nx[maxm],ls[maxn],dep[maxn],d[maxn];
int fir[maxn*2],a[maxn*2],f[maxn*2][maxp+1],g[maxn*2][maxp+1],b[maxn];
LL ans;

void read(int &x){
	x=0; char ch=getchar();
	for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar());
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0'; 
}

void insert(int x,int y){
	em++; e[em]=y; nx[em]=ls[x]; ls[x]=em;
	em++; e[em]=x; nx[em]=ls[y]; ls[y]=em;
}

void dfs(int x,int p){
	a[++a[0]]=x; fir[x]=a[0]; dep[x]=dep[p]+1;
	for(int i=ls[x];i;i=nx[i]) if (e[i]!=p) 
		dfs(e[i],x),a[++a[0]]=x;
}

void RMQ(){
	for(int i=1;i<=a[0];i++) f[i][0]=dep[a[i]],g[i][0]=a[i];
	for(int j=1;j<=maxp&&(1<<j)<=a[0]-1;j++)
		for(int i=1;i<=a[0]-(1<<j);i++){
			int k=i+(1<<(j-1));
			if (f[i][j-1]<f[k][j-1]) 
				f[i][j]=f[i][j-1],g[i][j]=g[i][j-1];
			else f[i][j]=f[k][j-1],g[i][j]=g[k][j-1];
		}
}

int que(int x,int y){
	if (x==y) return x;
	if (fir[x]>fir[y]) swap(x,y);
	k=log2(fir[y]-fir[x]);
	if (f[fir[x]][k]<f[fir[y]-(1<<k)][k]) return g[fir[x]][k];
	else return g[fir[y]-(1<<k)][k];
}

int main(){
	freopen("easy.in","r",stdin);
	freopen("easy.out","w",stdout);
	read(n);
	for(i=1;i<n;i++){
		read(x),read(y);
		insert(x,y);
	}
	dfs(1,0);
	RMQ();
	for(i=1;i<=n;i++) ans+=dep[i];
	for(i=1;i<=n;i++) read(p[i]);
	for(i=1;i<=n-1;i++) b[i]=que(p[i],p[i+1]);
	d[t=1]=0;
	for(i=1;i<=n-1;i++){
		while (t&&dep[b[d[t]]]>dep[b[i]]) t--;
		le[i]=d[t]+1;
		d[++t]=i;
	} 
	d[t=1]=0;
	for(i=n-1;i>=1;i--){
		while (t&&dep[b[d[t]]]>=dep[b[i]]) t--;
		if (d[t]==0) ri[i]=n-1;
		else ri[i]=d[t]-1;
		d[++t]=i;
	}
	for(i=1;i<=n-1;i++) ans+=(LL)(ri[i]-i+1)*(i-le[i]+1)*dep[b[i]];
	printf("%lld",ans);
}