JZOJ6679. 【2020.06.02省选模拟】数

Description

$n<=1e6,a_i<=1e9$，输出$sum_{i=0}^{n}f_{i}(n)*(1e9+7)^i (mod 2^{32})$

Solution

• 完全没有想到可以直接将组合数用多项式表示，来推式子，经典姿势++
• 原式$a_i$的系数显然是$(1-x)^m(1+x)^{n-m}[x^i]$
• 这个式子看起来不好求，我们把它转化一下
  $(1-x)^m(1+x)^{n-m}$
  $=(2-(1+x))^m(1+x)^{n-m}$
  $=sum_{i=0}^m2^iC_m^i(-1)^{m-i}(1+x)^{n-i}$
• 因为是$a$点乘$(1-x)^m(1+x)^{n-m}$,相当于是$a$点乘$(1+x)^{n-i}$，即：
  $a*(1+x)^k=sum_{i=0}^kC_k^i*a_i$
• 先卷积算出出点积的结果，再带回去卷积一次即可。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxn 3000005
#define ll long long 
#define uint unsigned int
#define mo 998244353
using namespace std;

int n,m,i,j,k,lim,bt[maxn];
ll A[maxn],S,M,B,fct[maxn],invf[maxn],_2[maxn];
ll a[maxn],b[maxn],c[maxn];

ll ksm(ll x,ll y){
	ll s=1;
	for(;y;y/=2,x=x*x%mo) if (y&1)
		s=s*x%mo;
	return s;
}

void dft(ll *a,int sig){
	for(int i=0;i<lim;i++) if (i<bt[i]) swap(a[i],a[bt[i]]);
	for(int mid=1;mid<lim;mid<<=1){
		ll gn=ksm(3,(mo-1)/(mid<<1));
		if (sig<0) gn=ksm(gn,mo-2);
		for(int j=0;j<lim;j+=mid<<1){
			ll g=1;
			for(int k=0;k<mid;k++,g=g*gn%mo){
				ll x=a[j+k],y=a[j+k+mid]*g;
				a[j+k]=(x+y)%mo,a[j+k+mid]=(x-y)%mo;
			} 
		}
	}
}

int main(){
	freopen("count.in","r",stdin);
	freopen("count.out","w",stdout);
	scanf("%d%lld%lld%lld%lld",&n,&A[0],&S,&M,&B);
	for(i=1;i<=n;i++) A[i]=((A[i-1]^S)*M+B)%mo;
	fct[0]=1;for(i=1;i<=n;i++) fct[i]=fct[i-1]*i%mo;
	_2[0]=1;for(i=1;i<=n;i++) _2[i]=_2[i-1]*2%mo;
	invf[n]=ksm(fct[n],mo-2);
	for(i=n-1;i>=0;i--) invf[i]=invf[i+1]*(i+1)%mo;
	
	for(lim=1;lim<=2*n;lim<<=1);
	for(i=1;i<lim;i++) bt[i]=(bt[i>>1]>>1)|((i&1)?(lim>>1):0);
	for(i=0;i<=n;i++) a[i]=invf[i],b[i]=invf[i]*A[i]%mo;
	dft(a,1),dft(b,1);
	for(i=0;i<lim;i++) c[i]=a[i]*b[i]%mo;
	dft(c,-1);
	ll inv=ksm(lim,mo-2);
	for(i=0;i<=n;i++) c[i]=c[i]*inv%mo*fct[i]%mo;
	
	memset(a,0,sizeof(a)),memset(b,0,sizeof(b));
	for(i=0;i<=n;i++) a[i]=_2[i]*invf[i]%mo*c[n-i]%mo,b[i]=invf[i]*((i&1)?-1:1);
	dft(a,1),dft(b,1);
	for(i=0;i<lim;i++) c[i]=a[i]*b[i]%mo;
	dft(c,-1);
	inv=ksm(lim,mo-2);
	uint ans=0,mul=1,p=1e9+7;
	for(i=0;i<=n;i++,mul=mul*p) {
		c[i]=(c[i]*inv%mo*fct[i]%mo+mo)%mo;
		ans+=mul*c[i];
	}
	printf("%u",ans);
}