java 多级图的最短路径

求最短路径众所周知有Dijistra算法、Bellman-ford等，除了这些算法，用动态规划也可以求出最短路径，时间复杂度为O（n^2），

跟没有优化的Dijistra算法一样（优化后的Dijistra算法时间复杂度为O（（m+n）lgn)）。 

左侧1-15表示前一个节点，最上面一行1-15表示后一个节点，记这个图的矩阵为P，那么P[0][1]==5表示节点0与节点1相连

，路径长度为5。那么我们如何利用动态规划来求解最短路径？

首先我们需要把整个问题转换成小的子问题，利用小的子问题的最优解求出整个问题的最优解。

我们的目的是求0-15之间的最短路径，由图可知与节点15相连的是结点14和节点13，假设我们已经求出0-13的最短路径的值D13和0-14的最短路径的值D14，

那么我们只需要比较D13+d(13-15)和D14+d(14-15)的大小就可以知道从哪个节点出发到节点15的路径最短。

按照这个思想一直往前推，推到节点0时结束，自然就求出了节点0-节点15的最短路径，这个思路是递归的，

如果用递归的方法，时间复杂度很高，当然你也可以用备忘录，记录已经计算过的值，我这里将递归转换成迭代。

我们先定义一个类class Node,里面存储节点的序号、从0到这个节点的最短路径的值、前一个节点的序号。

class node{
    public int number;
    //value是指从0到这个节点总共要走多远，执行算法前将value的值初始化为无穷大
    public int value;
    public int parent;
}

　　最后将n[15].value打印出来就是最短路径的值，

再根据parent的值往前找就得到最短路径的解，当然这个例子有不同的路径的解，虽然值一样，我这里只给了一种。

class node {

	int value = Integer.MAX_VALUE;
	int parent;
}

public class Check {
	public static void main(String[] args) {
		node[] n = new node[16];
		for (int i = 0; i < 16; i++) {
			n[i] = new node();
		}

		int[][] array = { 
				            { 0, 5, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 },
							{ 0, 0, 0, 1, 3, 6, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 },
							{ 0, 0, 0, 0, 8, 7, 6, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 },
							{ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 6, 8, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 },
							{ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 },
							{ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0 },
							{ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0 },
							{ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 0 },
							{ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 0 },
							{ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 3, 0, 0, 0 },
							{ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 5, 0 },
							{ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 5, 2, 0 },
							{ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 6, 6, 0 },
							{ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4 }, 
							{ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3 },
							{ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 }

		};
  
		for (int i = 0; i < 16; i++) {
			for (int j = i + 1; j < 16; j++) {
				if (array[i][j] != 0) {
					int temp = n[i].value + array[i][j];
					if (temp< n[j].value) {
						// System.out.println(i+" "+j+" "+d+" "+n[j].value);
						n[j].value =temp;
						n[j].parent = i;
					}
				}
			}
		}
		int i = 15;
		System.out.print(15 + " ");
		while (i > 0) {
			System.out.print(n[i].parent + " ");
			// i--;
			i = n[i].parent;
		}
	}

}