一.(gcd(f_{n},f_{n+1})=1)
证明：
[egin{aligned}
&gcd(f_{n},f_{n+1})&\
=&gcd(f_{n},f_{n+1}-f_{n})&\
=&gcd(f_{n},f_{n-1})&\
=&……&\
=&gcd(f_{1},f_{2})&\
=&1&
end{aligned}
]
二.(f_{m}=f_{m-n-1} imes f_{n}+f_{m-n} imes f_{n+1})
证明：
假设(n<m)，且(f_{n}=a,f_{n+1}=b)。
则(f_{n+2}=a+b,f_{n+3}=a+2b,f_{n+4}=2a+3b)。
我们可以发现ａ和ｂ前面的系数就是一个斐波那契数列，因此(f_{m}=f_{m-n-1} imes a+f_{m-n} imes b)，得证。
推论：(f_{n+m}=f_{m-1} imes f_{n}+f_{m} imes f_{n+1})
三.(gcd(f_{n},f_{m})=f_{gcd(n,m)})
证明：
由性质二我们知道(gcd(f_{n},f_{m})=gcd(f_n,f_{m-n-1} imes f_{n}+f_{m-n} imes f_{n+1}))。
又我们知道(f_{n}|f_{m-n-1} imes f_{n})，由性质一我们知道(gcd(f_{n},f_{n+1})=1)，因此
[gcd(f_{n},f_{m})=gcd(f_{n},f_{n-m})
]
根据该等式我们即可得证该性质成立。
参考资料：
洛谷Ｐ1306博客:传送门