莫比乌斯反演笔记

已知：$sum_{t|n}mu (t)=[n=1]$

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一,求${sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=1]}$

　　其中$nleq 1e7,mleq 1e7$

　　原式${=sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m} sum_{t|i,t|j}mu (t)}$

　　　　${=sum_{t=1}^{n}left lfloor frac{n}{t} ight floorleft lfloor frac{m}{t} ight floormu (t)}$

　　线性筛莫比乌斯函数即可

　　

　　

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
#define maxn 10010
#define llg long long
#define N 2010 
#define yyj() freopen("input.txt","r",stdin),freopen("output.txt","w",stdout);
llg n,m,T,cnt,prime[maxn],mobius[maxn],bj[maxn];

void init_mobius()
{
    mobius[1]=1;
    for (llg i=2;i<=N;i++)
    {
        if (!bj[i])
        {
            prime[++cnt]=i; mobius[i]=-1;
        }
        for (llg j=1;j<=cnt && prime[j]*i<=N;j++)
        {
            bj[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]) mobius[i*prime[j]]=-mobius[i];
            else
            {
                mobius[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
        }
    }
}

int main()
{
    yyj();
    cin>>T;
    init_mobius();
//    for (llg i=1;i<=10;i++) cout<<i<<"-->"<<mobius[i]<<endl;
    T=10;
    while (T--)
    {
        llg ans=0;
        scanf("%lld%lld",&n,&m);
        for (llg t=1;t<=n;t++) 
        {
            ans+=floor((n/t))*floor((m/t))*mobius[t];
        }
        printf("%lld
",ans*4+4);
    }
    return 0;
}

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　　二,求${sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=g],nleq 1e7,mleq 1e7}$

 　　

　　令：${nleq m$}$

　　原式${=sum _{g=1}^{n}gsum _{i=1}^{frac{n}{g}}sum _{j=1}^{frac{m}{g}}[gcd(i,j)=1]}$

　　　　${=sum _{g=1}^{n}gsum _{i=1}^{left lfloor frac{n}{g} ight floor}sum _{j=1}^{left lfloor frac{m}{g} ight floor}sum _{t|i,t|j}mu (t)}$

 　　　  ${=sum _{g=1}^{n}gsum_{t=1}^{tleq frac{n}{g}}left lfloor frac{n}{tg} ight floorleft lfloor frac{m}{tg} ight floormu (t)}$

　　推到这一步可以发现${sum _{g=1}^{n}sum_{t=1}^{tleq frac{n}{g}}}$是一个调和级数，预处理莫比乌斯函数，然后直接枚举g,然后就可以了,复杂度$O(nlogn)$。

　　

　　考虑继续优化

　　

　　令${Q=gt}$

　　原式${=sum _{Q=1}^{n}left lfloor frac{n}{Q} ight floorleft lfloor frac{m}{Q} ight floorsum _{g|Q}mu(frac{Q}{g})}$   

　　${ecause sum _{g|Q}mu(frac{Q}{g})g=varphi (Q)}$

　　${ herefore }$原式${=sum _{Q=1}^{n}left lfloor frac{n}{Q} ight floorleft lfloor frac{m}{Q} ight floorvarphi (Q)}$

　　可以线性筛预处理${varphi (Q)}$函数，然后可以做$O(n)$做。