【BZOJ】3930: [CQOI2015]选数

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3930

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求从${l~r}$中选$n$个数，最大公约数为$k$的方案数。

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$gcd$?一开始就往莫比乌斯反演上面想，考虑一下如选两个数是什么样子的。

${sum _{i=L}^{R}sum _{j=L}^{R}left [ gcd(i,j)=k ight ]}$

${=sum _{i=left lfloor frac{L}{K} ight floor}^{left lfloor frac{R}{K} ight floor}sum _{j=left lfloor frac{L}{K} ight floor}^{left lfloor frac{R}{K} ight floor}left [ gcd(i,j)=1 ight ]}$

${=sum _{i=left lfloor frac{L}{K} ight floor}^{left lfloor frac{R}{K} ight floor}sum _{j=left lfloor frac{L}{K} ight floor}^{left lfloor frac{R}{K} ight floor}sum _{d|gcd(i,j)}mu(d)}$

${=sum_{d=1}^{left lfloor frac{R}{K} ight floor}mu (d)(left lfloor frac{R}{Kd} ight floor-left lfloor frac{L-1}{Kd} ight floor)^{2}}$

同理的，如果是选$n$个数：

$${sum_{d=1}^{left lfloor frac{R}{K} ight floor}mu (d)(left lfloor frac{R}{Kd} ight floor-left lfloor frac{L-1}{Kd} ight floor)^{n}}$$

接下来线性筛，分块直接算即可。

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但是

　　MDZZ,${R-L<=1e5}$的这个条件没用到,嗯这个范围应该是个${log^{1e5}}$。

　　令$f[i]$表示$gcd=i$的方案数，${Aleft lceil frac{L}{K} ight ceil}$,${B=left lfloor frac{R}{K} ight floor}$。

　　转移为：$${f[i]=(r-l+1)^{n}-t-sum _{i|j}f[j]}$$

　　枚举$i$,$j$,其中$j$是调和级数的意义，复杂度${O(nlog(R-L))}$

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
#define maxn 1001000
#define llg long long 
#define mod 1000000007
#define yyj(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout);
llg n,m,f[maxn],L,R,k;

llg ksm(llg x,llg y)
{
    llg ans=1;
    while (y)
    {
        if (y&1) ans=ans*x%mod;
        x=x*x%mod;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    yyj("bzoj3930");
    cin>>n>>k>>L>>R;
    for (llg i=R-L;i>=1;i--)
    {
        llg l=(L-1)/(k*i),r=R/(k*i);
        f[i]=(ksm(r-l,n)-(r-l)+mod) %mod;
        for (llg j=2;i*j<=R-L;j++)
        {
            f[i]=f[i]-f[i*j]+mod;
            f[i]%=mod;
        }
    } 
    if (L<=k && k<=R) f[1]++;
    cout<<f[1];
    return 0;
}