dp问题 -挑战例题 2017-7-24

01 背包

题意：

　　在N件物品取出若干件放在容量为W的背包里，每件物品的体积为W1，W2……Wn（Wi为整数），与之相对应的价值为P1,P2……Pn（Pi为整数）。求背包能够容纳的最大价值。

f[i][v] = max{ f[i-1][v] , f[i-1][ v-c[i] ] + w[i] }

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn = 100 + 5;

int n ,w;
int v[maxn],s[maxn];
int dp[2][10010];

int main()
{
    cin>> n >> w;
    for(int i=1;i <= n;i++){
        cin >> v[i] >> s[i];
    }
    int now = 1,pre = 0;
    for(int i=1;i <= n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=w;j++)
        {
            if(j < v[i])
                dp[now][j] = dp[pre][j];
            else
                dp[now][j] = max(dp[pre][j] , dp[pre][j-v[i]]+s[i]); // 不选 就是dp[i-1][j]
                //选就是dp[i-1][j-v[i]]+s[i]
        }
        swap (now,pre);
    }
    cout<< dp[pre][w]<<endl;
    return 0;
}

 下面是优化过内存的

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <string.h>
using namespace std;
const int maxn = 100 + 5;

int n ,w;
int v[maxn],s[maxn];
int dp[10010];

int main()
{
    cin>> n >> w;
    for(int i=1;i <= n;i++){
        cin >> v[i] >> s[i];
    }
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=1;i <= n;i++)
    {
        for(int j=w;j >= v[i];j--)//从上面一个状态转移 但是倒着写 上面一个状态就不会转移了
            dp[j] = max(dp[j] , dp[j-v[i]]+s[i]);
    }
    cout<< dp[w]<<endl;
    return 0;
}

完全背包

题意：

　　在N种 物品取出若干件放在容量为W的背包里，每件物品的体积为W1，W2……Wn（Wi为整数），与之相对应的价值为P1,P2……Pn（Pi为整数）。求背包能够容纳的最大价值。

思路：

　　完全背包和01 背包的区别就是 能够存储的物品可以挑选多次

所以 转移方程也就变成了 dp[i][j] = max(dp[i-1][j] , dp[i][j-v[i]]+s[i]); // 不选 就是dp[i-1][j]  选就用dp[i][j-v[i]]+s[i]

//而01背包 就是dp[i][j] = max(dp[i-1][j] , dp[i-1][j-v[i]]+s[i])

f[i][v] = max{ f[i-1][v-k*c[i]] + k*w[i] | 0 <= k*c[i] <= v}

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn = 100 + 5;

int n ,w;
int v[maxn],s[maxn];
int dp[2][10010];

int main()
{
    cin>> n >> w;
    for(int i=1;i <= n;i++){
        cin >> v[i] >> s[i];
    }
    int now = 1,pre = 0;
    for(int i=1;i <= n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=w;j++)
        {
            if(j < v[i])
                dp[now][j] = dp[pre][j];
            else
                dp[now][j] = max(dp[pre][j] , dp[now][j-v[i]]+s[i]); // 不选 就是dp[i-1][j]
                //选就是dp[i][j-v[i]]+s[i]
        }
        swap (now,pre);
    }
    cout<< dp[pre][w]<<endl;
    return 0;
}

下面也是优化过的

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <string.h>
using namespace std;
const int maxn = 100 + 5;

int n ,w;
int v[maxn],s[maxn];
int dp[10010];

int main()
{
    cin>> n >> w;
    for(int i=1;i <= n;i++){
        cin >> v[i] >> s[i];
    }
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=1;i <= n;i++)
    {
        for(int j=v[i];j <= w;j++)//可以从上面一个状态转移 正着写 就能覆盖上次的计算了
            dp[j] = max(dp[j] , dp[j-v[i]]+s[i]);
    }
    cout<< dp[w]<<endl;
    return 0;
}

多重部分和问题  //多重背包

题意 :

　　有n中不同大小的数字ai，每种各mi个。判断是否可以从这些数字之中选出若干使他们的大小恰好为K.

样例 ： n = 3  a={3, 5, 8}  m={3, 2, 2} K= 17

        17 = 3*3 + 8 

思路：

　　dp[i+1][j] //用前i种数加和得到j时 第i种数最多剩余多少个

　　

　　　　　　　    m[i]  , dp[i][j] >= 0 //说明前i个数已经可以等于j 了 不需要 第 i+1 个数

　　dp[i+1][ j ] =　-1 ， j < a[i] || dp[i+1][ j-a[i] ] <= 0,// j < a[i] 目前还不是很懂这个条件 ...dp[i+1][ j-a[i] ] <= 0 说明此时候没法再用a[i]了

　　　　　　　　 dp[i+1][ j-a[i] ] -1，//和完全背包差不多， 如果此时a[i] 还存在 那么 就从 dp[i+1][ j-a[i] ] 去除1个a[i] 就可以得到..　　　　　　　　　　　 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string.h>
using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 100000 + 5;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;

int n,k;
int a[maxn] , m[maxn];
int dp[maxn];

void solve()
{
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    dp[0] = 0; //加和得到0 需要0个数字
    for(int i=0;i < n;i++){
        for(int j=0;j <= k;j++)
        {
            if(dp[j] >= 0) dp[j] = m[i];
            else if(dp[ j-a[i] ] <= 0 || j < a[i] ){
                dp[j] = -1;
            }
            else{
                dp[j] = dp[ j-a[i] ] -1;
            }
        }
    }
    if(dp[k] >= 0) printf("Yes
");
    else printf("No
");
}

int main()
{
    cin >> n >> k;
    for(int i =0;i < n;i++){
        cin >> a[i] >> m[i];
    }
    solve ();
    return 0;
}

// http://www.hankcs.com/program/cpp/poj-1742-coins.html

最长上升子序列 （LIS）

思路：做过好多次了  就是dp[i] 记录的长度为 i + 1 的时候中末尾元素的最小值

//具体插入过程 看挑战 P 66

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 10000 + 5;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;
int n;
int s[maxn];
int dp[maxn];
void solve ()
{
    fill(dp,dp+n,INF);
    for(int i=0;i < n;i++){
        *lower_bound(dp,dp+n,s[i]) = s[i];
        //for(int j= 0;j < n;j++)
        //    cout<< dp[j] <<" ";
      //  cout<<endl;
    }
    printf("%d
",lower_bound(dp,dp+n,INF) - dp);
}
int main()
{
    cin >> n;
    for(int i=0;i < n;i++)
        cin >> s[i];
    solve ();
    return 0;
}