算法搬运之BFPRT算法

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BFPRT算法，又称为中位数的中位数算法，由5位大牛（Blum 、 Floyd 、 Pratt 、 Rivest 、 Tarjan）提出，并以他们的名字命名。参考维基上的介绍Median of medians。

算法的思想是修改快速选择算法的主元选取方法，提高算法在最坏情况下的时间复杂度。其主要步骤为：

首先把数组按5个数为一组进行分组，最后不足5个的忽略。对每组数进行排序（如插入排序）求取其中位数。
把上一步的所有中位数移到数组的前面，对这些中位数递归调用BFPRT算法求得他们的中位数。
将上一步得到的中位数作为划分的主元进行整个数组的划分。
判断第k个数在划分结果的左边、右边还是恰好是划分结果本身，前两者递归处理，后者直接返回答案。
首先看算法的主程序，代码如下。小于5个数的情况直接处理返回答案。否则每5个进行求取中位数并放到数组前面，递归调用自身求取中位数的中位数，然后用中位数作为主元进行划分。

注意这里只利用了中位数的下标，而不关心中位数的数值，目的是方便在划分函数中使用下标直接进行交换。BFPRT算法执行完毕之后可以保证我们想要的数字是排在了它真实的位置上，所以可以直接使用中位数的下标。

int BFPRT(int a[], int l, int r, int id) //求数组a下标l到r中的第id个数
{
    if (r - l + 1 <= 5) //小于等于5个数，直接排序得到结果
    {
        insertionSort(a, l, r); return a[l + id - 1];
    }

    int t = l - 1; //当前替换到前面的中位数的下标
    for (int st = l, ed; (ed = st + 4) <= r; st += 5) //每5个进行处理
    {
        insertionSort(a, st, ed); //5个数的排序
        t++; swap(a[t], a[st+2]); //将中位数替换到数组前面，便于递归求取中位数的中位数
    }

    int pivotId = (l + t) >> 1; //l到t的中位数的下标，作为主元的下标
    BFPRT(a, l, t, pivotId-l+1);//不关心中位数的值，保证中位数在正确的位置
    int m = partition(a, l, r, pivotId), cur = m - l + 1;
    if (id == cur) return a[m];                   //刚好是第id个数
    else if(id < cur) return BFPRT(a, l, m-1, id);//第id个数在左边
    else return BFPRT(a, m+1, r, id-cur);         //第id个数在右边
}

这里的划分函数与之前稍微不同，因为指定了划分主元的下标，所以参数增加了一个，并且第一步需要交换主元的位置。代码如下：

int partition(int a[], int l, int r, int pivotId) //对数组a下标从l到r的元素进行划分
{
    //以pivotId所在元素为划分主元
    swap(a[pivotId],a[r]);

    int j = l - 1; //左边数字最右的下标
    for (int i = l; i < r; i++)
        if (a[i] <= a[r]) 
            swap(a[++j], a[i]);
    swap(a[++j], a[r]);
    return j;
}

这里简单分析一下BFPRT算法的复杂度。

划分时以5个元素为一组求取中位数，共得到n/5个中位数，再递归求取中位数，复杂度为T(n/5)。

得到的中位数x作为主元进行划分，在n/5个中位数中，主元x大于其中1/2*n/5=n/10的中位数，而每个中位数在其本来的5个数的小组中又大于或等于其中的3个数，所以主元x至少大于所有数中的n/10*3=3/10*n个。同理，主元x至少小于所有数中的3/10*n个。即划分之后，任意一边的长度至少为3/10，在最坏情况下，每次选择都选到了7/10的那一部分，则递归的复杂度为T(7/10*n)。

在每5个数求中位数和划分的函数中，进行若干个次线性的扫描，其时间复杂度为c*n，其中c为常数。其总的时间复杂度满足 T(n) <= T(n/5) + T(7/10*n) + c * n。

我们假设T(n)=x*n，其中x不一定是常数（比如x可以为n的倍数，则对应的T(n)=O(n^2)）。则有 x*n <= x*n/5 + x*7/10*n + c*n，得到 x<=10*c。于是可以知道x与n无关，T(n)<=10*c*n，为线性时间复杂度算法。而这又是最坏情况下的分析，故BFPRT可以在最坏情况下以线性时间求得n个数中的第k个数。