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  • Luogu P2490「JSOI2016」黑白棋

    我博弈基础好差..

    Luogu P2490


    题意

    有一个长度为$ n$的棋盘,黑白相间的放$ k$个棋子,保证$ k$是偶数且最左边为白子

    每次小$ A$可以移动不超过$ d$个白子,然后小$ B$可以移动不超过$ d$个黑子

    双方不能把棋子越过其他棋子

    求有多少种初始方案使得小$ A$先手必胜

    注意白子只能往右黑子只能往左


    $NimK游戏$

    对于一个局面,我们可以把每对相邻的(白,黑)对看成一堆石子,数量即为这两个棋子之间的距离

    问题等价于每次可以在不超过$ d$堆中取石子求是否必胜

    考虑普通的$ Nim$游戏相当于$ d=1$的情况,必败态为每堆的异或值为$ 0$

    推广到$ d>1$的情况就是二进制下每一位在所有石子堆中的出现次数均是$d+1$的倍数则必败

    这就是$NimK$游戏


    $ Solution$

    $ DP$

    设$ f_{i,j}$表示只考虑二进制前$i$位,由$ j$颗石子组成的必败态的方案数

    $ f_{i+1,j+s2^{i+1}(d+1)}+=f_{i,j}*inom{k/2}{s(d+1)}$  

    意义是选出若干堆在这一位上有$ 1$且乘上选这些堆的方案数

    注意最后需要

    $ f_{i,j}*=inom{n-k/2-i}{k/2}$

    其意义是给这些堆石子在原棋盘上定位

    然后就做完了


    $ my code$

    #include<ctime>
    #include<cmath>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<iostream>
    #include<algorithm>
    #include<queue>
    #define p 1000000007
    #define rt register int
    #define ll long long
    using namespace std;
    inline ll read(){
        ll x = 0; char zf = 1; char ch = getchar();
        while (ch != '-' && !isdigit(ch)) ch = getchar();
        if (ch == '-') zf = -1, ch = getchar();
        while (isdigit(ch)) x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar(); return x * zf;
    }
    void write(ll y){if(y<0)putchar('-'),y=-y;if(y>9)write(y/10);putchar(y%10+48);}
    void writeln(const ll y){write(y);putchar('
    ');}
    int i,j,k,m,n,x,y,z,cnt;
    int f[15][40010];
    int C[10010][205];
    int main(){
        C[0][0]=1;
        n=read();k=read();int d=read();
        for(rt i=1;i<=n;i++){
            C[i][0]=1;
            for(rt j=1;j<=i&&j<=k;j++)
            C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%p;
        }
        
        for(rt i=0;i*(d+1)<=k/2;i++)
        f[0][i*(d+1)]=C[k/2][i*(d+1)];
        for(rt i=0;i<=13;i++)
        for(rt j=0;j<=n;j++){
            for(rt s=0;s<=k&&j+(1<<i+1)*s<=n;s+=d+1)
            (f[i+1][j+(1<<i+1)*s]+=1ll*f[i][j]*C[k/2][s]%p)%=p;
        }
        int ans=C[n][k];
        for(rt i=0;n-k/2-i>=0;i++)
        f[13][i]=1ll*f[13][i]*C[n-k/2-i][k/2]%p,(ans-=f[13][i])%=p;
        cout<<(ans+p)%p;
        return 0;
    }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/DreamlessDreams/p/10069074.html
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