在路上---学习篇（一）Python 数据结构和算法 （5）二分查找、二叉树遍历

独白：

　　利用算法进行查找指定元素，最近学习二分查找和二叉树遍历。二分查找前提是在有序中进行查找，二叉树引入了树的概念。树的概念其中有许多小知识点，也是一种新的数据结构。还是之前的感悟，需了解其本质才会写出更好的算法。

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二分查找

　　二分查找又称折半查找，优点是比较次数少，查找速度快，平均性能好；其缺点是要求待查表为有序表，且插入删除困难。因此，折半查找方法适用于不经常变动而查找频繁的有序列表。首先，假设表中元素是按升序排列，将表中间位置记录的关键字与查找关键字比较，如果两者相等，则查找成功；否则利用中间位置记录将表分成前、后两个子表，如果中间位置记录的关键字大于查找关键字，则进一步查找前一子表，否则进一步查找后一子表。重复以上过程，直到找到满足条件的记录，使查找成功，或直到子表不存在为止，此时查找不成功。

'''
二分查找
时间复杂度:O(logn)

'''
'''
前提是在一个有序的列表
'''

import time

#
# def binary_search(list, item):
#     ''' 非递归实现 '''
#
#     first = 0
#     last = len(list) - 1
#     while first <= last :
#         midpoint = ( first + last ) // 2
#         if list[midpoint] == item:
#             return True
#         elif item < list[midpoint]:
#             last = midpoint - 1
#         else:
#             first = midpoint + 1
#     return False


def binary_search(list, item):
    """ 递归实现 """
    print(list)
    if len(list) == 0:
        return False

    else:
        midpoint = len(list) // 2
        if list[midpoint] == item:
            return True
        else:
            if list[midpoint] > item:
                return binary_search(list[:midpoint], item)
            else:
                return binary_search(list[midpoint + 1:], item)


if __name__ == '__main__':
    # 开始时间
    first_time = time.time()

    # 建立个有序的列表
    lis = [1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 17, 156, 678]

    # 列表排序
    print(binary_search(lis, 6))

    # 结束时间
    last_time = time.time()

    print("共用时%s" % (last_time - first_time))

树与树算法

树的概念

树（英语：tree）是一种抽象数据类型（ADT）或是实作这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点： 

• 每个节点有零个或多个子节点； 
• 没有父节点的节点称为根节点； 
• 每一个非根节点有且只有一个父节点； 
• 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树；

树的术语

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
• 叶节点或终端节点：度为零的节点；
• 父亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次；
• 堂兄弟节点：父节点在同一层的节点互为堂兄弟；
• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
• 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；

树的种类

• 无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树；
• 有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树；
  • 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树； 
    • 完全二叉树：对于一颗二叉树，假设其深度为d(d>1)。除了第d层外，其它各层的节点数目均已达最大值，且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树，其中满二叉树的定义是所有叶节点都在最底层的完全二叉树; 
    • 平衡二叉树（AVL树）：当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树； 
    • 排序二叉树（二叉查找树（英语：Binary Search Tree），也称二叉搜索树、有序二叉树）； 
  • 霍夫曼树（用于信息编码）：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树；
  • B树：一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树，能够保持数据有序，拥有多余两个子树

二叉树的基本概念

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree） 

二叉树的性质(特性)

性质1: 在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i>0）
性质2: 深度为k的二叉树至多有2^k - 1个结点（k>0）
性质3: 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1;
性质4:具有n个结点的完全二叉树的深度必为 log2(n+1)
性质5:对完全二叉树，若从上至下、从左至右编号，则编号为i 的结点，其左孩子编号必为2i，其右孩子编号必为2i＋1；其双亲的编号必为i/2（i＝1 时为根,除外）

class Node(object):
    '''节点类'''
    def __init__(self, elem, lchild = None, rchild = None):
        self.elem = elem
        self.lchild = lchild
        self.rchild = rchild

class Tree(object):
    '''树类'''
    def __init__(self, root = None):
        self.root = root

    def add(self, elem):
        '''为树添加节点'''
        node = Node(elem)
        # 如果是空树，对根节点进行赋值
        if self.root == None:
            self.root = node
            return
        else:
            queue = []
            queue.append(self.root)
            # 对已有节点进行层次遍历
            while queue:
                # 弹出队列的第一个元素
                cur = queue.pop(0)
                if cur.lchild is None:
                    cur.lchild = node
                    return
                elif cur.rchild is None:
                    cur.rchild = node
                    return
                else:
                    # 如果左右节点不为空，加入队列继续判断
                    queue.append(cur.lchild)
                    queue.append(cur.rchild)

二叉树的遍历

树的遍历是树的一种重要的运算。所谓遍历是指对树中所有结点的信息的访问，即依次对树中每个结点访问一次且仅访问一次，我们把这种对所有节点的访问称为遍历（traversal）。那么树的两种重要的遍历模式是深度优先遍历和广度优先遍历,深度优先一般用递归，广度优先一般用队列。一般情况下能用递归实现的算法大部分也能用堆栈来实现。

深度优先遍历

对于一颗二叉树，深度优先搜索(Depth First Search)是沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深的搜索树的分支。
那么深度遍历有重要的三种方法。这三种方式常被用于访问树的节点，它们之间的不同在于访问每个节点的次序不同。这三种遍历分别叫做先序遍历（preorder），中序遍历（inorder）和后序遍历（postorder）。我们来给出它们的详细定义，然后举例看看它们的应用。

• 先序遍历 在先序遍历中，我们先访问根节点，然后递归使用先序遍历访问左子树，再递归使用先序遍历访问右子树
  根节点->左子树->右子树

def preorder(self, root):
    """递归实现先序遍历"""
    if root == None:
        return
    print(root.elem)
    self.preorder(root.lchild)
    self.preorder(root.rchild)

• 中序遍历 在中序遍历中，我们递归使用中序遍历访问左子树，然后访问根节点，最后再递归使用中序遍历访问右子树                                 左子树->根节点->右子树

def inorder(self, root):
    """递归实现中序遍历"""
    if root == None:
        return
    self.inorder(root.lchild)
    print(root.elem)
    self.inorder(root.rchild)

• 后序遍历 在后序遍历中，我们先递归使用后序遍历访问左子树和右子树，最后访问根节点                                                                               左子树->右子树->根节点

def postorder(self, root):
    """递归实现后续遍历"""
    if root == None:
        return
    self.postorder(root.lchild)
    self.postorder(root.rchild)
    print (root.elem)

广度优先遍历(层次遍历)

从树的root开始，从上到下从从左到右遍历整个树的节点

def breadth_travel(self, root):
    """利用队列实现树的层次遍历"""
    if root == None:
        return
    queue = []
    queue.append(root)
    while queue:
        node = queue.pop(0)
        print (node.elem)
        if node.lchild != None:
            queue.append(node.lchild)
        if node.rchild != None:
            queue.append(node.rchild)