P2986 [USACO10MAR]伟大的奶牛聚集Great Cow Gat…

题目描述

Bessie正在计划一年一度的奶牛大集会，来自全国各地的奶牛将来参加这一次集会。当然，她会选择最方便的地点来举办这次集会。

每个奶牛居住在 N(1<=N<=100,000) 个农场中的一个，这些农场由N-1条道路连接，并且从任意一个农场都能够到达另外一个农场。道路i连接农场A_i和B_i(1 <= A_i<=N; 1 <= B_i <= N),长度为L_i(1 <= L_i <= 1,000)。集会可以在N个农场中的任意一个举行。另外，每个牛棚中居住者C_i(0 <= C_i <= 1,000)只奶牛。

在选择集会的地点的时候，Bessie希望最大化方便的程度(也就是最小化不方便程度)。比如选择第X个农场作为集会地点，它的不方便程度是其它牛棚中每只奶牛去参加集会所走的路程之和，(比如，农场i到达农场X的距离是20，那么总路程就是C_i*20)。帮助Bessie找出最方便的地点来举行大集会。

输入输出格式

输入格式：

第一行：一个整数 N 。

第二到 N+1 行：第 i+1 行有一个整数 C_i

第 N+2 行到 2*N 行：第 i+N+1 行为 3 个整数：A_i，B_i和 L_i。

输出格式：

第一行：一个值，表示最小的不方便值。

输入输出样例

输入样例#1： 

5 
1 
1 
0 
0 
2 
1 3 1 
2 3 2 
3 4 3 
4 5 3 

输出样例#1： 

15 

代码

本题有两种解决方法

1.二次扫描，换根法

先求出某一点不方便度，通过转移root

那么f[to]=f[u]-s[to]*e[i].val+(sum-s[to])*e[i].val;

其中f表示不方便度，s[to]表示子树牛数，sum-s[to]表示子树父节点的牛数

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100000+100;
int head[maxn];
long long p[maxn],f[maxn],s[maxn];
long long sum,ans;
struct edge
{
    int to,next;
    long long val;
}e[maxn<<2];
int size=0;
inline long long read()
{
    long long x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
void addedge(int u,int v,long long w)
{
    e[++size].to=v;e[size].val=w;e[size].next=head[u];head[u]=size;
}
void dfs1(int u,int fa)
{
    for(int i=head[u];i;i=e[i].next)
    {
        int to=e[i].to;
        if(to==fa)continue;
        dfs1(to,u);
        f[u]+=f[to]+s[to]*e[i].val;
        s[u]+=s[to];
    }
    s[u]+=p[u];
}
void dfs2(int u,int fa)
{
    for(int i=head[u];i;i=e[i].next)
    {
        int to=e[i].to;
        if(to==fa)continue;
        f[to]=f[u]-s[to]*e[i].val+(sum-s[to])*e[i].val;
        dfs2(to,u);
    }
}
int main()
{
    int n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    s[i]=read(),sum+=s[i];
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int u=read(),v=read();
        long long w=read();
        addedge(u,v,w);
        addedge(v,u,w);
    }
    dfs1(1,0);
    ans=f[1];
    dfs2(1,0);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    ans=min(ans,f[i]);
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}

2.树的重心

定义

树的重心：子树中最大的子树节点数最少的点,删去重心后，生成的多棵树尽可能平衡。

树的重心具有一下性质

1 ：树中所有点到重心的距离和是最小的，一棵树最多有两个重心

 2 ：把两棵树通过加一条边得到一颗新的树，新的树的重心必然在连接原来两棵树重心的路径上

 3 ：一棵树添加或者删除一个节点，树的重心最多只移动一条边的位置

由性质1我们可以想到树的重心的解法，猜想该点，在树的重心上

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100000+100;
int head[maxn];
long long p[maxn],d[maxn],ms[maxn],s[maxn];
int g=1;
long long sum,ans;
struct edge
{
    int to,next;
    long long val;
}e[maxn<<2];
int size=0;
inline long long read()
{
    long long x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
void addedge(int u,int v,long long w)
{
    e[++size].to=v;e[size].val=w;e[size].next=head[u];head[u]=size;
}
void dfs1(int u,int fa)
{
    s[u]=p[u];
    for(int i=head[u];i;i=e[i].next)
    {
        int to=e[i].to;
        if(to==fa)continue;
        dfs1(to,u);
        s[u]+=s[to];
        ms[u]=max(ms[u],s[to]);
    }
    ms[u]=max(ms[u],sum-s[u]);
}
void dfs2(int u,int fa)
{
    for(int i=head[u];i;i=e[i].next)
    {
        int to=e[i].to;
        if(to==fa)continue;
        d[to]=d[u]+e[i].val;
        ans+=d[to]*p[to];
        dfs2(to,u);
    }
}
int main()
{
    int n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    p[i]=read(),sum+=p[i];
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int u=read(),v=read();
        long long w=read();
        addedge(u,v,w);
        addedge(v,u,w);
    }
    dfs1(1,0);
    for(int i=2;i<=n;i++)
    if(ms[i]<ms[g])g=i;
    dfs2(g,0);
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}