计算几何 求多边形的重心

任意多边形重心

 

　　　首先，我们从最简单的三角形入手， 三角形的重心就是三条中线的交点，他的位置是((x1 + x2 + x3) / 3 , (y1 + y2 + y3) / 3 ) (假设三角形三个点坐标分别为(x1, y1) ,

(x2, y2), (x3, y3))。 那么， 对于 n 边的凸多边形， 我们总能把它分成不相交的 (n - 2) 个 三角形，并能求出各个重心。下面介绍几种求多边形重心的方法：

　　　 线垂法：

　　　　　具体方法是：用细线提起该物体，在该物体上画细线的延长线，再移位用细线提起该物体，在该物体上画细线的延长线，两线的交叉点就是这一物体在这平面上的重心，　　　　　　　　其它面同理．适用于实际测量中。

　　定理法：(本人自己命名)
　　　　定理1： 由两个图形A，B合并而成的一个图形C，则C的重心必在A的重心与B的重心连接的线段上。(注意，也适用于A B彼此分开，没有公共点的情形)
　　　　定理2： 由两个A，B合并而成的一个图形C，A的重心为点a, B的重心为点b, C的重心为点c, A的面积为Sa, B的面积为Sb,则下面条件成立：
　　　　　　(1)点c 必在线段 ab 上
　　　　　　(2) ac * Sa = bc * Sb

　　计算几何中：
　　　　三角形的重心： x = (xa+xb+xc)/3,  y = (ya+yb+yc)/3;
　　　　四边形的重心：作一对角线，将它分成两个三角形分别求出重心与面积 (x1,y1) ,s1 ; (x2, y2), s2 则该四边形的重心为： x = (x1*s1+x2*s2)/(s1+s2), y = (y1*s1+y2*s2)/(s1+s2);
　　　　五边形则分为一个三角形与一个四边形……

　　　　任意多边形中直接取任一点（一般为原点）把多边形分为n-2个三角形 分别求重心
　　　　　　x=∑ si * xi / ∑si
　　　　　　y=∑ si * yi / ∑si
　　　　　　si 为每块三角形的有向面积 (就是叉积)，叉积求解不懂可看：http://www.cnblogs.com/Duahanlang/archive/2013/05/11/3073434.html  里边有介绍。

附上关键代码：( n 多边形的重心)

// x1~y3 分别为不同三个相邻点的坐标（相邻为了使三角形不重叠）
double x1, y1, x2, y2, x3, y3;     //此处不用数组，只要迭代就可，节省空间
double cx, cy;    //重心坐标
double A;          // 有向面积之和
double vs;        // 各个三角形有向面积
cx = 0, cy = 0, A = 0;
cin >> n;
cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
for(i = 2; i < n; ++i) {
       cin >> x3 >> y3;
       vs = (x2-x1) * (y3-y1) - (x3-x1) * (y2-y1);     //有向面积
     A += vs;
       cx += (x1+x2+x3)*vs, cy += (y1+y2+y3)*vs;
       x2 = x3, y2 = y3;                                 //此处迭代x2, y2, 固定点x1, y1
}
cx /= (3.0*A), cy /= (3.0*A);                   // 最后坐标

练习： hdoj 1115
　　链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1115