ZOJ 3949 Edge to the Root

题意：

在一棵树中，可以从根节点往其他节点加一条边，使得根节点到其他所有节点的距离和最小，输出最小的距离和。

思路：

我们考虑在加的一条边为$1 o v$，那么在树上从$1 o v$的路径上，如果有一个点$y$到$v$比到$1$更近，那么这个点$y$的子树里的所有

点都到$v$更近。那么我们找到离根最近的点$y$，那么$y$子树中的所有点都是到$v$更近。

我们考虑：

$f[u]$表示如果添加了$1 o u$这条边的最小距离和是多少。

$g[u]$表示如果添加了$1 o u$这条边有多少点到$u$的距离比到根的距离更小。

$sze[u]$表示$u$的子树的大小。

那么对于它的一个儿子$v$，$f[v] = f[u] - 2 cdot sze[v] + g[u]$。

因为原来到$u$更优的，那么到$v$至少不会比到根更差，但是$v$的子树中的贡献要重新算。

然后更新一下儿子节点的$g[u]$就好了，这个时候到$v$和到根一样优的点就被删去了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long
#define N 200010
#define INFLL 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define DEG 20
int n;
vector <int> G[N];

int dep[N], fa[DEG][N], sze[N], k[N]; 
void DFS1(int u)
{
    k[u] = (dep[u]) / 2 - 1;
    for (int i = 1; i < DEG; ++i)
        fa[i][u] = fa[i - 1][fa[i - 1][u]];
    sze[u] = 1; 
    for (auto v : G[u]) if (v != fa[0][u])
    {
        fa[0][v] = u;
        dep[v] = dep[u] + 1;
        DFS1(v); sze[u] += sze[v];
    }
}

int findkth(int u, int k)
{
    for (int i = DEG - 1; i >= 0; --i)
        if ((k >> i) & 1)
            u = fa[i][u];
    return u;
}

int f[N]; ll g[N], res;
void DFS2(int u)
{
    if (u != 1)
    {
        if (dep[u] <= 3)
        {
            f[u] = sze[u];
            g[u] = g[1] - 1ll * (dep[u] - 1) * sze[u];    
        }
        else
        {
            int pre = fa[0][u];
            g[u] = g[pre] - 2 * sze[u] + f[pre];
            f[u] = sze[findkth(u, k[u])];
        }
    }
    res = min(res, g[u]);
    for (auto v : G[u]) if (v != fa[0][u])
        DFS2(v);
}

int main()
{
    int T; cin >> T;
    while (T--)
    {
        scanf("%d", &n);
        for (int i = 1; i <= n; ++i) G[i].clear();
        memset(sze, 0, sizeof sze); 
        for (int i = 1, u, v; i < n; ++i)
        {
            scanf("%d%d", &u, &v);
            G[u].push_back(v);
            G[v].push_back(u);
        }
        dep[1] = 0; DFS1(1);
        res = INFLL;
        g[1] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
            g[1] += dep[i];
        DFS2(1);
        printf("%lld
", res);
    }
    return 0;
}