Luogu 3758 [TJOI2017]可乐（有向图邻接矩阵幂的意义 矩阵快速幂）

题目描述

加里敦星球的人们特别喜欢喝可乐。因而，他们的敌对星球研发出了一个可乐机器人，并且放在了加里敦星球的1号城市上。这个可乐机器人有三种行为： 停在原地，去下一个相邻的城市，自爆。它每一秒都会随机触发一种行为。现 在给加里敦星球城市图，在第0秒时可乐机器人在1号城市，问经过了t秒，可乐机器人的行为方案数是多少？

输入输出格式

输入格式：

第一行输入两个正整数况N,M，N表示城市个数，M表示道路个数。（1 <= N <=30,0 < M < 100)

接下来M行输入u,v，表示u，v之间有一条道路。（1<=u,v <= n)保证两座城市之间只有一条路相连。

最后输入入时间t

输出格式：

输出可乐机器人的行为方案数，答案可能很大，请输出对2017取模后的结果。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

3 2
1 2
2 3
2

输出样例#1： 复制

8

说明

【样例解释】

1 ->爆炸

1 -> 1 ->爆炸

1 -> 2 ->爆炸

1 -> 1 -> 1

1 -> 1 -> 2

1 -> 2 -> 1

1 -> 2 -> 2

1 -> 2 -> 3

【数据范围】

对于20%的pn，有1 < t ≤ 1000

对于100%的pn，有1 < t ≤ 10^6。

解题思路：

　　前置技能：有向图邻接矩阵幂的意义 不懂的戳这里：https://www.cnblogs.com/Dxy0310/p/9838613.html

　　题目所求的行为方案数可以理解为到每一个可到达的点的方案数的总和，而邻接矩阵的幂正好有这样的性质，

用邻接矩阵$A$表示原图的连通关系，那么$A^k$中的$（i,j）$上的数值表示从$i$到$j$经过$k$的路径方案总数。

那么$sumlimits_{i=1}^{n} A[1][i]$就是答案的一部分，接下来考虑原地停留的问题，其实原地停留就相当于每个点都有一条自己连自己的边构成自环，将$A_{i,i}$赋值为$1$即可，再考虑自爆的情况，因为自爆之后便没有状态了，所以可以将自爆看成一个新的城市$n+1$,由于可能在每一个点上自爆，所以由每一个点向点$n+1$连一条有向边，由于自爆后没状态，所以点$n+1$的出边应该为$0$。

　　至此题目就转化成了建立图的邻接矩阵$A$，并计算$A^k$，用矩阵快速幂即可。

代码：

　　

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register int
#define ll long long
#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxn 39
#define maxm
inline ll read()
{
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ll)(ch-'0');ch=getchar();}
    return x*f;
}
int mp[maxn][maxn],B[maxn][maxn],C[maxn][maxn];
int n,m,k,ans,tot,cnt,t,p;


void Martix_mul(int A[maxn][maxn],int B[maxn][maxn])
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            for(int k=1;k<=n;k++)
                C[i][j]+=A[i][k]*B[k][j],C[i][j]%=p;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            A[i][j]=C[i][j],C[i][j]=0;
}
void Quick_mul(int b)
{
    while(b)
    {
        if(b&1)
            Martix_mul(B,mp);
        Martix_mul(mp,mp);
        b>>=1;
    }
}
int main()
{
//    freopen(".in","r",stdin);
//    freopen(".out","w",stdout);
    n=read(),m=read(),p=2017;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x=read(),y=read();
        mp[x][y]=mp[y][x]=1;
    } 
    for(int i=1;i<=n+1;i++)
    {
        mp[i][i]=1;
        mp[i][n+1]=1;
        B[i][i]=1;
    }
    t=read();
    ++n;
    Quick_mul(t);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans+=B[1][i],ans%=p;
    printf("%d
",ans);
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}