扩展欧几里得

扩展欧几里得算法：对方程 ax + by = gcd(a, b) ，该算法可以找出这个方程的一对整数解 (x, y) ，这里的 x 和 y 不一定是正数，也可能是负数或零。算法代码如下：

1 //d就是gcd(a,b), (x,y)就是式子 ax+by=gcd(a,b) 的一个解
2 void exgcd(int a, int b, int& d, int& x, int& y){
3     if(!b) { d = a; x = 1; y = 0; }
4     else { exgcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a/b); }
5 }

上面的代码仅仅是可以求出方程的一组解，我们还得求出其他解，我们可以经过推导可以得出这个方程的通解为 (x+kn, y-km) ，这里的k为任意整数，n=b/gcd(a,b)，m=a/gcd(a,b) 。这就是我们这个方程的通解的表达式。

由以上结论，我们可以推导下一个结论：一个方程 ax + by = c 中，令 g=gcd(a,b)， 若 c 是 g 的倍数，则该方程的一组解就是 (x*c/g, y*c/g)，若 c 不是 g 的倍数，则该方程无整数解。

有了以上结论，我们就可以试试下面这题了：

https://vjudge.net/problem/OpenJ_Bailian-1061

我们假设青蛙跳了 t 次才能碰面，则我们可以列出式子：(x+m*t)%L = (y+n*t)%L ， 我们将其变型一下：x-y = t*(n-m) + k*L ，我们可以通过扩欧算法求出 t 和 k 的一个整数解。具体代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

void exgcd(LL a, LL b, LL& d, LL& x, LL& y){
    if(!b) { d = a; x = 1; y = 0; }
    else { exgcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a/b); }
}

int main(){
    LL a, b, d, x, y, t, m, n, L;
    cin >> a >> b >> m >> n >> L;
    t = a - b;
    exgcd(n-m, L, d, x, y);
    if(t%d != 0) {
        cout << "Impossible" << endl;
    }else {
        x = t / d * x;
        x = (x % L + L) % L;
        cout << x << endl;
    }
    return 0;
}