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  • 裴蜀定理(贝祖定理)及证明

    在数论中,裴蜀定理是一个关于最大公约数(或最大公约式)的定理

    在数论中,裴蜀定理是一个关于最大公约数(或最大公约式)的定理。裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀,说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d,关于未知数x和y的线性丢番图方程(称为裴蜀等式):

      ax + by = m

      有解当且仅当m是d的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解,每组解x、y都称为裴蜀数,可用辗转相除法求得。

      例如,12和42的最大公因子是6,则方程12x + 42y = 6有解。事实上有(-3)×12 + 1×42 = 6及4×12 + (-1)×42 = 6。

      特别来说,方程 ax + by = 1 有解当且仅当整数a和b互素。

      裴蜀等式也可以用来给最大公约数定义:d其实就是最小的可以写成ax + by形式的正整数。这个定义的本质是整环中“理想”的概念。因此对于多项式整环也有相应的裴蜀定理。

    证明:

    (1)若b=0,则(a,b)=a.这时定理显然成立。

      (2)若a,b不等于0.

      ∵(a,b)=(a,-b)∴不妨设a,b都大于零,a>=b,(a,b)=d

      对ax+by=d,两边同时除以d,可得(a1)x+(b1)y=1,其中(a1,b1)=1。

      转证(a1)x+(b1)y=1。由带余除法:

      a1=(q1)b+(r1),其中0=<r1<b1

      b1=(q2)(r1)+(r2),其中0=<r2<r1

      (r1)=(q3)(r2)+(r3),其中0=<r3<r2

      .....

      (rn-3)=(qn-1)(rn-2)+(rn-1)

      (rn-2)=(qn)(rn-1)+(rn)

      (rn-1)=(qn+1)(rn)

      于是,有(a1,b1)=(b1,r1)=(r1,r2)=...=(rn-1,rn)=1

      故

      (rn-2)=(xn)(rn-1)+1

      即1=(rn-2)-(xn)(rn-1)

      由倒数第三个式子(rn-1)=(rn-3)-(xn-1)(rn-2)代入上式,得

      1=[1+(xn)(xn-1)](rn-2)-(xn)(rn-3)

      然后用同样的办法用它上面的等式逐个地消去(rn-2),...(r1),

      可证得1=(a1)x+(b1)y。

    推广:

    以上定理可推广到n个,n≥2

      如1st IMO 1959第1题:证明对任意自然数n,(21n+4)/(14n+3)为既约分数。证明:很容易看出3(14n+3)-2(21n+4)=1,由裴蜀定理,21n+4与14n+3互质,故(21n+4)/(14n+3)为既约分数。Q.E.D.

      另如:5x+4y+3z可表示全部整数.因为3,4,5互质,所以5x+4y+3z可以等于1,则必定可以等于其他任意整数

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