Union-Find

一、概念

一个集合中的元素，仅有的关系就是同属于这个集合，并查集就是用来维护若干集合的一种数据结构。
并查集有两个基本操作：

1. 并：合并两集合；
2. 查：查询两个元素是否属于同一个集合。

为了方便地实现合并以及查找操作，我们在一个集合中规定唯一一个根结点，并将这个根结点作为该集合的标志。
开始时所有元素都是一个独立的集合：

int parent[MAXN];
for (int i = 0; i < n + 1; i++) { // 下标从1开始
	parent[i] = i;    //i元素的父结点初始化为自己，也可以初始化为-1
}

二、合并与查找

• Find
  查找的同时可以通过路径压缩来将均摊复杂度降低为(O(1))。查找某个结点时，将其经过的全部结点直接连到父结点，这样下次查询时次数就会减少。
• Union
  合并时可以遵循按秩合并原则，将秩小的树合并到秩大的树，降低路径压缩时的开销。
  将两个不同的集合合并为一个集合，只要将其中一个集合的根结点的parent指向另一个集合的根结点即可。
  对于属于同一个集合的两个元素的合并没有意义，所以我们一般只对两个不同的集合进行合并。

虽然这种树结构的并查集可以将均摊复杂度变为(O(1))，但如果涉及到删除元素、计算每个集合元素个数等操作时，实现会有些复杂；
最原始的并查集虽然复杂度稍差，但是可以完成的功能比较多。原始并查集实现

class unionFind {
private:
    vector<int> parents_;
    vector<int> ranks_;
public:
    unionFind(int n) {
        for(int i = 0;i <= n;++i) {
            parents_.emplace_back(i);
            ranks_.emplace_back(0);
        }
    }

    // get the root of x
    int Find(int x) {
        // path compression
        if(x != parents_[x]) {
            parents_[x] = Find(parents_[x]);
        }
        return parents_[x];
    }

    // merge set u and v
    // false -> u and v are already in one set
    bool Union(int u, int v) {
        int rootu = Find(u);
        int rootv = Find(v);
        if(rootu == rootv) 
            return false;

        // merge low rank to high rank
        if(ranks_[rootu] < ranks_[rootv]) {
            parents_[rootu] = rootv;
        }
        else if(ranks_[rootv] < ranks_[rootu]) {
            parents_[rootv] = rootu;
        }
        else {
            parents_[rootu] = rootv;
            ++ranks_[rootv];
        }

        return true;
    }
};

一道例题：亲戚
不做路径压缩可以求最小环长

三、种类并查集（TODO）

普通并查集的特点就是只有一个集合，比如上述例题只有亲戚一个集合。如果涉及到多个集合，就需要种类并查集。
假如有n个集合，常用的手法就是开一个n倍大小的并查集。
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