0 引言
Leetcode307
这道题给一个可变数组,求从(i)到(j)的元素之和。
一个naive的做法是,每次查询都从(i)累加到(j):
class NumArray {
public:
NumArray(vector<int>& nums) {
nums_ = nums;
}
void update(int i, int val) {
nums_[i] = val;
}
int sumRange(int i, int j) {
int ans = 0;
for(int l = i;l <= j;++l)
ans += nums_[l];
return ans;
}
private:
vector<int> nums_;
};
这种方法每次更新的复杂度为(O(1)),每次查询的复杂度为(O(n))。
1 树状数组
为了降低查询的复杂度,引入Binary Index Tree(Fenwick Tree):
BIT其实并不是树,而是维护了一个前缀和数组prefixSums_
:
假设有一个数组:
那么我们的tree:
0是dummy node,将结点的二进制表示的最后一个1翻转,就能得到其父结点。
下来填充这棵树:
(1=0+2^0),存储从下标0开始的前1个数的和:3(0,0);
(2=0+2^1),存储从下标0开始的前2个数的和:5(0,1);
(3=2^1+2^0),存储从下标2开始的前1个数的和:-1(2,2);
(4=0+2^2),存储从下标0开始的前4个数的和:10(0,3);
(5=2^2+2^0),存储从下标4开始的前1个数的和:5(4,4);
(6=2^2+2^1),存储从下标4开始的前2个数的和:9(4,5);
(7=2^2+2^1+2^0),存储从下标6开始的前1个数的和:-3(6,6);
(8=0+2^3),存储从下标0开始的前8个数的和:19(0,7);
(9=2^3+2^0),存储从下标8开始的前1个数的和:7(8,8);
(10=2^3+2^1),存储从下标8开始的前2个数的和:9(8,9);
(11=2^3+2^1+2^0),存储从下标10开始的前1个数的和:3(10,10);
填充后的tree:
接下来就可以根据这棵树来计算prefixSums_
:
假如要计算(0-5)的和,从下标6出发,一直加到dummy node,得到prefixSums_[6]=9+10=19
;
要计算(0-9)的和,从下标10出发,一直加到dummy node,得到prefixSums_[10]=9+19=28
。
以计算(0-9)的和为例,结点10存储的是(8,9)的部分和,结点8存储的是(0,7)的部分和,所以加起来就是(0-9)的和。
2 快速实现
上面求结点的父结点、将下标拆解为二进制去填充树的方式很慢,来看一种稍快的方式。
查询时,我们需要计算从某结点到dummy node的和,这就涉及计算该结点的parent:
假如要求结点7的parent,7的二进制原码为111
,-7的补码为001
,将原码和补码按位与得001
,用原码减去001
,得110=6
,即7的父结点是6。
更新时,我们需要更新所有包含该结点的部分和结点:
假如更新了结点1,1的二进制原码为001
,-1的补码为111
,将原码和补码按位与得001
,用原码加上001
,得010=2
,即还要更新结点2,更新了结点2,还要更新结点4......
最后来看下非常简洁的实现:
class BIT{
private:
vector<int> prefixSums_;
static inline int lowbit(int x) {
return x & (-x);
}
public:
BIT(int n) : prefixSums_(n + 1, 0) {}
void update(int i, int delta) {
while(i < prefixSums_.size()) {
prefixSums_[i] += delta;
i += lowbit(i);
}
}
int query(int i) {
int sum = 0;
while(i > 0) {
sum += prefixSums_[i];
i -= lowbit(i);
}
return sum;
}
};
BIT每次查询以及更新的复杂度都是(O(lgn)),适用于动态的更新以及实时查询。
3 Reference
Fenwick Tree or Binary Indexed Tree
花花酱 Fenwick Tree / Binary Indexed Tree SP3