PAT 1007 素数对猜想
题目:
让我们定义dn为：dn=pn+1−pn，其中pi是第i个素数。显然有d1=1，且对于n>1有dn是偶数。“素数对猜想”认为“存在无穷多对相邻且差为2的素数”。
现给定任意正整数N(<105)，请计算不超过N的满足猜想的素数对的个数。
输入格式:
输入在一行给出正整数N。
输出格式:
在一行中输出不超过N的满足猜想的素数对的个数。
输入样例:
20
输出样例:
4
代码:
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
using namespace std;
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
using namespace std;
bool is_prime( unsigned long long num )
{
//两个较小数另外处理
if(num ==2|| num==3 )
return true ;
//不在6的倍数两侧的一定不是质数
if(num %6!= 1&&num %6!= 5)
return false ;
unsigned long long tmp =sqrt( num);
//在6的倍数两侧的也可能不是质数
for(int i= 5;i <=tmp; i+=6 )
if(num %i== 0||num %(i+ 2)==0 )
return false;
//排除所有，剩余的是质数
return true ;
}
int main()
{
int input,len,paret = 0;
int div;
vector<int> primeNum;
cin>>input;
for(int i = 1;i <= input;++i){
if(is_prime(i)){
primeNum.push_back(i);
}
}
len = primeNum.size();
for(int i = 0;i < len - 1;++i){
div = primeNum[i+1] - primeNum[i];
if(div == 2) paret++;
}
cout<<paret;
return 0;
}
int main()
{
int input,len,paret = 0;
int div;
vector<int> primeNum;
cin>>input;
for(int i = 1;i <= input;++i){
if(is_prime(i)){
primeNum.push_back(i);
}
}
len = primeNum.size();
for(int i = 0;i < len - 1;++i){
div = primeNum[i+1] - primeNum[i];
if(div == 2) paret++;
}
cout<<paret;
return 0;
}
解析:
将输入的数据判断,把素数放入到数组内,计算二者差即可.难点在于素数的判断.
素数判断方法如下:
首先看一个关于质数分布的规律：大于等于5的质数一定和6的倍数相邻。例如5和7，11和13,17和19等等；
证明：令x≥1，将大于等于5的自然数表示如下：····· 6x-1，6x，6x+1，6x+2，6x+3，6x+4，6x+5，6(x+1），6(x+1)+1 ······可以看到，不在6的倍数两侧，即6x两侧的数为6x+2，6x+3，6x+4，由于2(3x+1)，3(2x+1)，2(3x+2)，所以它们一定不是素数，再除去6x本身，显然，素数要出现只可能出现在6x的相邻两侧。这里要注意的一点是，在6的倍数相邻两侧并不是一定就是质数。此时判断质数可以6个为单元快进，加快判断速度，原因是，假如要判定的数为n，则n必定是6x-1或6x+1的形式，对于循环中6i-1，6i，6i+1,6i+2，6i+3，6i+4，其中如果n能被6i，6i+2，6i+4整除，则n至少得是一个偶数，但是6x-1或6x+1的形式明显是一个奇数，故不成立；另外，如果n能被6i+3整除，则n至少能被3整除，但是6x能被3整除，故6x-1或6x+1（即n）不可能被3整除，故不成立。综上，循环中只需要考虑6i-1和6i+1的情况，即循环的步长可以定为6，每次判断循环变量k和k+2的情况即可。
bool isPrime( int num ) { //两个较小数另外处理 if(num ==2|| num==3 ) return true ; //不在6的倍数两侧的一定不是质数 if(num %6!= 1&&num %6!= 5) return false ; int tmp =sqrt( num); //在6的倍数两侧的也可能不是质数 for(int i= 5;i <=tmp; i+=6 ) if(num %i== 0||num %(i+ 2)==0 ) return false; //排除所有，剩余的是质数 return true ; }