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  • 二分图定理

    二分图的一些定理

    最小顶点的覆盖=最大匹配数
    最小顶点覆盖数:就是最少的顶点来覆盖所有的边。
    证明:
    设最小的顶点覆盖为M
    1.M是足够的,如果还有一条边没有被覆盖,说明这个匹配还可以再加一条边,所以这个就与最大匹配数位M矛盾。
    2.M是必须的,匹配的M条边,由于两两互不相交,所以至少需要M个顶点。

    最大独立集
    定义:在二分图中,选择一些点,使得这些点两两没有边直接相连。
    最大独立集=总数-最小顶点覆盖
    证明:
    最小顶点覆盖的每一个点都会尽可能的去覆盖更多的边,每一个最小定点覆盖的点的对面都会被算到最大独立集中去。
    如果有一个最大独立集中的点有边把它连起来,如果最大独立集中有点有边,那么最大匹配就会更优。

    DAG最小路径覆盖
    定义:能覆盖所有点的最少路径数
    最小路径覆盖 = 原图上的点数 - 最大匹配数
    如果图不连通,最小路径覆盖即为点数,每多一次匹配,会多覆盖一个点,
    最小路径数-1。又因为每个点只能用一次,所以最小路径覆盖 = 原图上的点数 - 最大匹配数 。

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/EchoZQN/p/10760326.html
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