今天继续写几个数位dp
F - Balanced Number
题目大意：给你一个区间，让你求这个区间之中满足条件的数字有多少。
这个条件：可以选数的一个位为轴，左右到轴的长度乘上那个数字本身相等的数有多少？
我的思路：首先我们要研究这个题目的数字要求，就是找到一个点然后去枚举每一个点是轴，然后我们就再dfs里面搜索
因为我们要求点到轴的力矩，但是我们又不知道力矩的位置，所以我们用一个数来记录到此位置的力矩
这个怎么记录呢？比如说数字abcdef
第一次就是a，第二次是a*2+b 第三次是a*3+b*2+c。。。。
所以我们需要有一个来记录这个力矩，还需要有一个数来记录 a a+b a+b+c....
这个时候就很好求了。
所以这个dp我是这么定义的 dp[i][j][k][h]表示到第 i 位 轴为 j 力矩为 k 数字之和为 h
但是自己敲了之后发现有问题
首先就是这个数组开的太大了，其次就是这个状态定义的唯一不唯一很难确定。
我对于这个dp数组是真的无奈，不知道该怎么去定义，有时候定义多了，有时候定义少了。
状态是不是唯一真的很难去判断。
看了题解，题解是这么定义的，
dp[i][j][k] 表示第 i 为以第 j 位 是否满足条件，满足k==0，不满足k!=0
这个状态一定义下来，就很好写这个dp了。
！！注意最后要减去全为0 的数，0 00 000 0000 000000 这些数是一样的，都是0，重复计算了很多次。
#include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <queue> #include <algorithm> #include <vector> #include <iostream> #define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f using namespace std; const int maxn = 1010; const int mod = 2520; typedef long long ll; ll dp[20][20][2000]; int a[maxn]; ll dfs(int pos,int sta,int num,bool limit) { if (pos == -1) return num == 0; if (num < 0) return 0; if (!limit&&dp[pos][sta][num] != -1) return dp[pos][sta][num]; int up = limit ? a[pos] : 9; ll ans = 0; for(int i=0;i<=up;i++) { ans += dfs(pos - 1, sta, num + (pos - sta)*i, limit && (i == up)); } if (!limit) dp[pos][sta][num] = ans; return ans; } ll solve(ll x) { if (x < 0) return 0; int pos = 0; while(x) { a[pos++] = x % 10; x /= 10; } ll ans = 0; for(int i=0;i<pos;i++) ans += dfs(pos - 1, i, 0,1); return ans - pos + 1; } int main() { int t; cin >> t; memset(dp, -1, sizeof(dp)); while(t--) { ll a, b; scanf("%lld%lld", &a, &b); ll ans = solve(b) - solve(a - 1); printf("%lld ", ans); } return 0; }
E - Round Numbers
这个题目我第一感觉还比较简单。
题目大意：还是求在一个区间内满足条件的数
这个条件就是：这个数的二进制表示0比1的数多或者等于。
这个题目是二进制，那么我们就先把他转化成二进制，然后怎么写呢？
因为我们要求的是0比1 的数量多，既然有一个比较，那我就想到了上面的这个题目，它是要求左边的力矩等于右边的力矩，
这个也有一个等式或者不等式的关系，所以我们试着像上面那样处理，就是dp[i][j][k]表示第i位，出现0的个数，是不是满足条件
这个应该是状态唯一的吧，或者说是可以表示一类数。不管怎么样，先试试。
这个是可以的，但是当你敲代码的时候就会发现并不需要三维，我们只需要两维就可以了，
dp[i][j]表示第i位，满足条件的数，
敲完代码，过了样例wa了，搜了一下题解发现我忘记处理前导零了，这个肯定是要处理前导零的啊。
#include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <queue> #include <algorithm> #include <vector> #include <string> #define inf 0x3f3f3f3f using namespace std; const int maxn = 1e5 + 10; const int first = 70; typedef long long ll; ll dp[70][200]; int a[70]; ll dfs(int pos,int num,bool limit,bool lead) { if (pos == -1) return num >= first; if (!lead&&!limit&&dp[pos][num] != -1) return dp[pos][num]; int up = limit ? a[pos] : 1; ll ans = 0; for(int i=0;i<=up;i++) { ans += dfs(pos - 1, lead&&(i==0)?num:(i==0?num+1:num-1), limit && (i == up),lead&&(i==0)); } if (!lead && !limit) dp[pos][num] = ans; return ans; } ll solve(ll x) { int pos = 0; while(x) { a[pos++] = x & 1; x >>= 1; } return dfs(pos - 1, first, 1,1); } int main() { int l, r; memset(dp, -1, sizeof(dp)); while(scanf("%d%d",&l,&r)!=EOF) { ll ans = solve(r)-solve(l-1); printf("%lld ", ans); } return 0; }
G - B-number
这个题目也很简单，题目大意 给你一个数，找到从1到这个数这个区间满足条件的数，这个条件就是可以被13整除，并且存在13这样的子串。
这个题目怎么写呢？我们的要求就是被13整除，所以需要这个数来表示这个，存在13的子串，所以要有一个来记录前缀，然后要判断是不是13
所以这就有三个数了，所以就可以设dp[i][j][k] 表示第i个数和为j，是不是满足有13的子串的要求。
#include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <queue> #include <algorithm> #include <vector> #include <string> #define inf 0x3f3f3f3f using namespace std; const int maxn = 1e5 + 10; const int first = 70; typedef long long ll; ll dp[70][70][10]; int a[50]; ll dfs(int pos, int pre, int sum, int flag, int limit) { if (pos == -1) return (flag==2) && (sum == 0); if (!limit && dp[pos][sum][flag] != -1) return dp[pos][sum][flag]; int up = limit ? a[pos] : 9; ll ans = 0; for (int i = 0; i <= up; i++) { int f = 0; if (flag == 2) f = flag; else if (flag == 1 && i == 3) f = 2; else if (i == 1) f = 1; ans += dfs(pos - 1, i, (sum * 10 + i) % 13, f, limit && (i == up)); } if (!limit) dp[pos][sum][flag] = ans; return ans; } ll solve(ll x) { int pos = 0; while (x) { a[pos++] = x % 10; x /= 10; } return dfs(pos - 1, 0, 0, 0, 1); } int main() { int n; memset(dp, -1, sizeof(dp)); while (scanf("%d", &n) != EOF) { ll ans = solve(n); printf("%lld ", ans); } return 0; }
J - 吉哥系列故事――恨7不成妻
我开始以为这个题目特别简单，后来才发现自己在做梦。
这个题目我觉得还挺好，加深了我对于dp数组的理解，
之前我对于dp数组以为这个记录一类数，但是这个题目写完之后，我觉得这个数位dp的dp数组是记录一种状态，
这个状态往往和dfs里面的参数有关，也就是和题目本身有关，这个参数是来表示一类数的性质，这个性质就是题目的条件。
比如说这个题目，dp[i][j][k]这个 i 表示的就是第 i 位，前面的所有数字的和对7取模是 j ，到此为止它的数大小对7取模是k(把第 i 位当作个位来看）
然后dp本身就是表示的第i位以及之后 我们要求的cnt ，sum ，two
所以对于58_ 51_ 如果说以及枚举到了第三位 pos==3 的时候继续枚举5 然后枚举5后面的位数，因为limit==0 所以后面从0~9来枚举
这个时候 58 51 都是dp[3][6][2] 但是这个并不影响结果，因为这个时候我们是枚举58 51 之和的值，后面都是从0~9 而且51 58这两个数对于这个题目来说
其实是一样的状态就是，这个状态和题目要求的一一对应。
#include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <queue> #include <algorithm> #include <vector> #include <string> #define inf 0x3f3f3f3f using namespace std; const int maxn = 1e5 + 10; const int first = 70; typedef long long ll; const ll mod = 1e9 + 7; struct node { int cnt; ll sum; ll two; node(int cnt=0,ll sum=0,ll two=0):cnt(cnt),sum(sum),two(two){} }dp[20][100][100]; ll f[20]; int a[20]; node dfs(int pos, int sum, int num, bool limit) { if (pos == -1) return node(sum != 0 && num != 0, 0, 0); if (!limit&&dp[pos][sum][num].two != 0) return dp[pos][sum][num]; int up = limit ? a[pos] : 9; node ans(0,0,0); for(int i=0;i<=up;i++) { if (i == 7) continue; node ex = dfs(pos - 1, (sum * 10 + i) % 7, (num + i) % 7, limit && (i == up)); ans.cnt += ex.cnt; ans.cnt %= mod; ans.sum = ans.sum + ((i * f[pos])%mod * ex.cnt)%mod + ex.sum; ans.sum %= mod; ans.two = ans.two + ((((i * f[pos]%mod) * (i*f[pos]%mod))%mod * ex.cnt%mod))%mod + 2 * ((i*f[pos])%mod * ex.sum)%mod + ex.two; ans.two %= mod; } if (!limit) dp[pos][sum][num] = ans; return ans; } ll solve(ll x) { int pos = 0; while (x) { a[pos++] = x % 10; x /= 10; } ll ans = dfs(pos - 1, 0, 0, 1).two; ans %= mod; return ans; } int main() { int t; scanf("%d", &t); f[0] = 1; for (int i = 1; i <= 18; i++) f[i] = f[i - 1] * 10; while (t--) { ll l, r; scanf("%lld%lld", &l, &r); ll ans = (solve(r) - solve(l - 1) + mod) % mod; printf("%lld ", ans); } return 0; }