组合数 [牛牛的棋盘] 牛客编程巅峰赛S1第2场

组合数 牛牛的棋盘

题解：

这个题目当时打比赛的时候没有写出来，还是有点难的，今天看了别人的代码，才理清思路。

其实需要注意的就是第一行第一列最后一行最后一列都必须有棋子，其他就没什么限制了，这个很容易就可以想到用组合数，就是首先求出 (n*m) 里面放 (k) 个棋子的方案数，然后减去不合法情况。

不过当时有点傻，没想清楚怎么去除不合法情况。

一共有四种不合法的情况

• 有一行或者一列没有
• 有两行或者两列或者一行一列没有
• 有三个没有
• 四个全部没有

看这个图：

• 计算第一种情况： (C((n-1)*m,k)) 或 (C(n*(m-1),k))

  可以计算：

  • 1、2、3、4
  • 12、13、14 || 23、24、21 || 34、31、32 || 41、42、43
  • 123、124、134 || 231、234、241 || 341、342、312 || 412、413、423
  • 1234 || 1234 || 1234 || 1234

• 计算第二种情况，可以计算：

  • 12 、23、24、14、13、34
  • 123、124 || 231、234 || 241、243 || 142、143 || 132、134 || 341、342
  • 1234 || 1234 || 1234 || 1234 || 1234 || 1234

• 计算第三种情况，可以计算：

  • 123、124、234、134
  • 1234 || 1234 || 1234 || 1234

• 计算第四种情况，可以计算：

  • 1234

最后要注意一下，因为上面是四种不合法的情况，我们是要在最后答案里面减去答案的不合法情况，所以可以直接减去不合法情况，也就是偶数减去奇数，也可以求出不合法情况，然后一次性的减去，不合法情况就是奇数减去偶数。

class Solution {
public:
    /**
     * 
     * @param n int整型 
     * @param m int整型 
     * @param k int整型 
     * @return int整型
     */
    #define ll long long 
    const int mod = 1e9+7;
    ll c[1100][1100];
    void init(int n){
        memset(c, 0, sizeof(c));
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            c[i][0] = 1;
            for (int j = 1; j <= i; j++)
                c[i][j] = (c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j])%mod;
        }

    }
    int solve(int n, int m, int k) {
        // write code here
        init(n*m);
        ll ans=0;
        for(int i=0;i<16;i++){
            int x=n,y=m,cur=0;
            if(i&1) cur++,y--;
            if(i&2) cur++,x--;
            if(i&4) cur++,y--;
            if(i&8) cur++,x--;
            if(cur&1) ans = (ans-c[x*y][k]+mod)%mod;
            else ans=(ans+c[x*y][k])%mod;
    //        printf("ans=%lld i=%d cur=%d
",ans,i,cur);
        }
        return int(ans);
    }
};

#include <bits/stdc++.h>
#define id first
#define val second
#define inf 0x3f3f3f3f
#define inf64 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn=2e5+10;
const int mod =1e9+7;
typedef long long ll;
int a[maxn];
ll c[1100][1100];
void init(int n){
    memset(c, 0, sizeof(c));
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        c[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= i; j++)
            c[i][j] = (c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j])%mod;
    }

}

int main(){
    int n,m,k;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    init(n*m);
    ll ans=0;
    for(int i=0;i<16;i++){
        int x=n,y=m,cur=0;
        if(i&1) cur++,y--;
        if(i&2) cur++,x--;
        if(i&4) cur++,y--;
        if(i&8) cur++,x--;
        if(cur&1) ans = (ans-c[x*y][k]+mod)%mod;
        else ans=(ans+c[x*y][k])%mod;
//        printf("ans=%lld i=%d cur=%d
",ans,i,cur);
    }
    printf("%lld
",ans);
}