【例题】一笔画问题

【例题】一笔画问题

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如果一个图存在一笔画，则一笔画的路径叫做欧拉路，如果最后又回到起点，那这个路径叫做欧拉回路。

根据一笔画的两个定理，如果寻找欧拉回路，对任意一个点执行深度优先遍历；找欧拉路，则对一个奇点执行dfs，时间复杂度为O(m+n)，m为边数，n是点数。

 

【输入】

第一行n，m，有n个点，m条边，以下m行描述每条边连接的两点。

【输出】

欧拉路或欧拉回路,输出一条路径即可。

 

【输入样例】

5 5
1 2
2 3
3 4
4 5
5 1

【输出样例】

1 5 4 3 2 1

题解：

1. 欧拉通路、欧拉回路、欧拉图
无向图：
1) 设G是连通无向图，则称经过G的每条边一次并且仅一次的路径为欧拉通路；
2) 如果欧拉通路是回路（起点和终点是同一个顶点），则称此回路为欧拉回路（Euler circuit）；
3) 具有欧拉回路的无向图G称为欧拉图（Euler graph）。
有向图：
1) 设D是有向图，D的基图连通，则称经过D的每条边一次并且仅一次的有向路径为有向欧拉通路；
2) 如果有向欧拉通路是有向回路，则称此有向回路为有向欧拉回路（directed Euler circuit）；
3) 具有有向欧拉回路的有向图D称为有向欧拉图（directed Euler graph）。

2. 定理及推论

无向图G存在欧拉通路的充要条件是：

1）G为连通图，并且G仅有两个奇度结点（度数为奇数的顶点）或者无奇度结点

2)  当G是无奇度结点的连通图时，G必有欧拉回路。
3)  G为欧拉图（存在欧拉回路）的充分必要条件是G为无奇度结点的连通图。

注意：一定要后存边，不然遇到一条死路（因为先走小点），顺序不一样

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
int n,m,N,t,cur[10005],d[10005];
bool g[10005][10005];
void print()
{
    for(int i=1;i<t;i++)
        cout<<cur[i]<<" ";
    cout<<cur[t]<<endl;
}
void dfs(int k)
{
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        if(g[k][i])
        {
            g[k][i]=g[i][k]=0;
            
            dfs(i);
        }
    }
    cur[++t]=k;//后存边
}
int main()
{

    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u,v;
        cin>>u>>v;
        g[u][v]=g[v][u]=1;
        d[u]++;d[v]++;
        N=max(N,u);
        N=max(v,N);
    }
    int start = 1;
    for(int i=1;i<=N;i++)
        if(d[i]%2)
            {start=i;break;}
    
    dfs(start);
    print();        
}