暑假第九测

第一题：数位dp;

但是怎么确定各个数位数字之和？

其实1e18和加起来也就19*9嘛， 枚举数字之和，最后dfs只需判断当前数数字之和是否=我们枚举的模数；

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
int digit[20];
ll dp[20][200][2][200];
ll dfs(int dep, int yu, int f, int t, int now, int sum){
    if(!dep) return !yu && sum == now;
    if(sum > now || sum + dep * 9 < now)return 0;
    if(dp[dep][yu][f][sum] != -1)return dp[dep][yu][f][sum];
    int i = f ? digit[dep] : 9;
    ll tmp = 0;
    for(; i >= 0; i--) {
        tmp += dfs(dep-1, (yu*10 + i) % now, f&(i == digit[dep]), i, now, sum+i);
        
    }
    return dp[dep][yu][f][sum] = tmp;
}

ll get(ll a){
    
    int cnt = 0;
    int now = 0;
    while(a){
        digit[++cnt] = a % 10;
        a /= 10;
        now += digit[cnt];
    }
    ll ans = 0;
    for(int i = 1; i <= 9*cnt; i++){
        memset(dp, -1, sizeof(dp));
        ans += dfs(cnt, 0, 1, 0, i, 0);
    }    
    return ans;
}
// 1000000 7000000000000

int main(){
    int kk = clock();
    ll L, R;
    cin>>L>>R;
    ll ans1 = get(L-1);
    ll ans2 = get(R);
    cout<<ans2-ans1<<endl;
    int cc = clock();
    //cout<<cc-kk;
}

在洛谷发现把顶界压掉跑的快了一倍，但在记忆化搜索时顶界了不能直接返回

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
int digit[20];
ll dp[20][210][210];
ll dfs(int dep, int yu, int f, int t, int now, int sum){
    if(!dep) return !yu && sum == now;
    if(sum > now || sum + dep * 9 < now)return 0;
    if(dp[dep][yu][sum] != -1 && !f)return dp[dep][yu][sum];
    int i = f ? digit[dep] : 9;
    
    ll tmp = 0;
    for(; i >= 0; i--) {
        tmp += dfs(dep-1, (yu*10 + i) % now, f&(i == digit[dep]), i, now, sum+i);
        
    }
    if(!f)dp[dep][yu][sum] = tmp;
    return tmp;
}

ll get(ll a, int opt){
    
    int cnt = 0;
    int now = 0;
    while(a){
        digit[++cnt] = a % 10;
        a /= 10;
        now += digit[cnt];
    }
    ll ans = 0;
    for(int i = 1; i <= 9*cnt; i++){
        memset(dp, -1, sizeof(dp));
        ans += dfs(cnt, 0, 1, 0, i, 0);
    }    
    return ans;
}
// 99999 333

int main(){
    //int kk=clock();
    //freopen("count.in","r",stdin);
    //freopen("count.out","w",stdout);
    ll L, R;
    cin>>L>>R;
    ll ans2 = get(R, 2);
    ll ans1 = get(L-1, 1);
    //cout<<ans2<<" "<<ans1<<"LLLLLLLLL"<<endl;
    cout<<ans2-ans1<<endl;
    //int cc=clock();
    //cout<<cc-kk;
}
// 123456789 123456789123456

第二题：又是期望推式子，真是一遇期望就die；

我们用 ci 表示从翻了i-1个正面到翻了i个正面的期望花费，di表示翻了i个正面的期望天数；

Ci = 2( Di-1 +1 ) - 1 + (1-p) * (2 * (Di-1 + 2) - 1) + (1 - p)^2 * ( 2 * ( Di-1 + 3) - 1 ) + …… + (1-p)^n * (2 * (Di-1 + n + 1) -1 ) 

上式分别表示翻了一次到i， 翻了2次到i， 注意前面不用×p, 因为我们定的状态最后一定了i；

Di = i/p 我们考虑我们现在在坐标为i的x轴上， 表示我们还要翻i个硬币，如果我们翻了，期望就是p*1, 相当于向左走一步， 如果没翻成功， 就是(1-p) * 0, 因为我们不会向右走；

我们设 x = Di-1

上式Ci = (2x+1)/p + 2(1-p)( 1 - (1-p) ^ n) /p - p*(1-p)^n+1*(2x+2n+1), 当n无限大时；

Ci趋近于 (2x-1)/p + (1-p)/p^2 带入x 的Ci = 2*i/p/p + 1/p;

最后答案就是C1 + C2 + C3 +C4 +…… + Ck

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;


int main(){
    freopen("coin.in","r",stdin);
    freopen("coin.out","w",stdout);
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        int k;double p;
        scanf("%d%lf",&k,&p);
        double tim = 1/p;
        double ans = (k+1)*1.0/p*tim - tim;
        printf("%.3lf %.3lf
", tim, ans);
        
        
        
    }
}

第三题：dp套dp, 求LIS的nlog 的方式f[i]表示长度为i的LIS结尾数是什么， f一定是单增且无重复的；

我们用dp[i][sta][nwsta] 表示我们考虑了前i个数,已经选了sta，nwsta表示f数组中那些数出现过，但是2^15 * 2^15 空间不够；

我们把sta, nwsta压成三进制的，然后再优化一下，后面又不会了，以下是std;

#include <cstdio>

const int MAXN = 22, MAXS = 15555555;

int a[MAXN], b[MAXN], c[MAXN], d[MAXN], pre[MAXN], pow[MAXN], f[MAXS];

int main() {
    freopen("sword.in", "r", stdin);
    freopen("sword.out", "w", stdout);
    int n, m, ans = 0;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    pow[0] = 1;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        pow[i + 1] = pow[i] * 3;
        pre[i] = n;
    }
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        scanf("%d", &a[i]);
        b[--a[i]] = i;
        if (i > 1)
            pre[a[i]] = a[i - 1];
    }
    a[m + 1] = n;
    f[0] = c[n] = 1;
    for (int i = 0; i < pow[n]; ++i)
        if (f[i]) {
            int cnt = 0, k = 1, pos = 0;
            for (int j = d[0] = 0, t = i; j < n; ++j, t /= 3)
                if (c[j] = t % 3) {
                    ++cnt;
                    if (b[j] > pos)
                        pos = b[j];
                    if (c[j] == 1)
                        d[++d[0]] = j;
                }
            d[d[0] + 1] = n;
            if (cnt == n)
                ans += f[i];
            for (int j = 0; j < n; ++j)
                if (!c[j] && c[pre[j]]) {
                    bool t = true;
                    for (; j > d[k]; ++k);
                    for (int l = pos + 1; t && l <= m + 1 && l <= k; ++l)
                        if (a[l] > j)
                            t = false;
                    if (t)
                        f[i + pow[j] + (k > d[0] ? 0 : pow[d[k]])] += f[i];
                }
        }
    printf("%d
", ans);
    return 0;
}