Implement int sqrt(int x).
难度：76，用二分查找。要求是知道结果的范围，取定左界和右界，然后每次砍掉不满足条件的一半，知道左界和右界相遇。算法的时间复杂度是O(logx)，空间复杂度是O(1)。
1 public class Solution { 2 public int sqrt(int x) { 3 if (x < 0) { 4 return -1; 5 } 6 if (x == 0) { 7 return 0; 8 } 9 int l = 1; 10 int r = x/2 + 1; 11 while (l <= r) { 12 int m = (l + r)/2; 13 if (m <= x/m && x/(m+1) < m+1) return m; 14 else if (m > x/m) { 15 r = m - 1; 16 } 17 else { 18 l = m + 1; 19 } 20 } 21 return -1; 22 } 23 }
其实这道题还是很tricky的，上面这行代码13行这么做，而不写成m*m <= x 其实是有深意的，是为了防止m*m的溢出。但是有人会攻击说m <= x/m && x/(m+1) < m+1是不是 m*m <= x && (m+1)*(m+1) > x的等价有效替换呢？ 这个有待商榷。
而且因为用除来解决overflow的问题，新的问题便被引入，那就是denominator为0的问题。为此，x=0的情况要单独考虑（否则m=0会在被除数位置）。左边界设置为1，右边界设置为x/2+1(向上取整以确保l, r之间包含target，否则比如x=1, l=1, r=0; x=2, l=1, r=1; 这些都漏掉了)
因此下面这个做法还是使用乘法，但是为了防止溢出，使用了Longlong型, 它的返回条件如第8行所示，并没有采取我做的方式即 m*m<= x && (m+1)*(m+1)>x , 它这样做是利用到了左右两个边界相遇之后左边界会停在比target大的整数处，而右边界会停在比target小的整数处
1 public class Solution { 2 int sqrt(int x) { 3 int i = 0; 4 int j = x / 2 + 1; 5 while (i <= j) 6 { 7 int mid = (i + j) / 2; 8 long sq = (long)mid * mid; 9 if (sq == x) return mid; 10 else if (sq < x) i = mid + 1; 11 else j = mid - 1; 12 } 13 return j; 14 } 15 }
2. 牛顿迭代法
另外，有牛顿法的解法，参见http://www.cnblogs.com/AnnieKim/archive/2013/04/18/3028607.html，牛顿法同时也可以解结果是double的情况
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为了方便理解，就先以本题为例：
计算x2 = n的解，令f(x)=x2-n，相当于求解f(x)=0的解，如左图所示。
首先取x0，如果x0不是解，做一个经过(x0,f(x0))这个点的切线(tangent line)，与x轴的交点为x1。
同样的道理，如果x1不是解，做一个经过(x1,f(x1))这个点的切线，与x轴的交点为x2。
以此类推。
以这样的方式得到的xi会无限趋近于f(x)=0的解。
判断xi是否是f(x)=0的解有两种方法：
一是直接计算f(xi)的值判断是否为0，二是判断前后两个解xi和xi-1是否无限接近。
经过(xi, f(xi))这个点的切线方程为f(x) = f(xi) + f’(xi)(x - xi)，其中f'(x)为f(x)的导数，本题中为2x。令切线方程等于0，即可求出xi+1=xi - f(xi) / f'(xi)。
继续化简，xi+1=xi - (xi2 - n) / (2xi) = xi - xi / 2 + n / (2xi) = xi / 2 + n / 2xi = (xi + n/xi) / 2。
举个例子, 为了求sqrt(n)，就是求：f(x) = x^2 - n当f(x) = 0的解
令y = x^2 - n,
取一点(x1, y1), 其切线方程是y-y1 = 2x1*(x - x1)， where 2x1是（x1,y1）处导数
y - (x1^2 - n) = 2x1*(x - x1)
y = 2x1*x - x1^2 - n
令y取零， 0 = 2x1*x - x1^2 - n
x2 <-------- 解得 x = x1/2 + n/2x1
有了迭代公式，程序就好写了。
输入输出都是int型：
1 public class Newton { 2 public int sqrt(int x) { 3 if (x == 0) return 0; 4 double last = 0; 5 double res = 1; 6 while (res != last) 7 { 8 last = res; 9 res = (res + x / res) / 2; 10 } 11 return (int)res; 12 13 } 14 15 public static void main(String[] args){ 16 Newton newton = new Newton(); 17 System.out.println(newton.sqrt(20)); 18 } 19 }
输入输出都是double型，或者输入int, 输出double：
1 public class Newton { 2 public double sqrt(int x) { 3 if (x == 0) return 0; 4 double last = 0; 5 double res = 1; 6 while (res != last) 7 { 8 last = res; 9 res = (res + x / res) / 2; 10 } 11 return res; 12 13 } 14 15 public static void main(String[] args){ 16 Newton newton = new Newton(); 17 System.out.println(newton.sqrt(3)); 18 } 19 }