Leetcode: Scramble String

Given a string s1, we may represent it as a binary tree by partitioning it to two non-empty substrings recursively.

Below is one possible representation of s1 = "great":

    great
   /    
  gr    eat
 /     /  
g   r  e   at
           / 
          a   t
To scramble the string, we may choose any non-leaf node and swap its two children.

For example, if we choose the node "gr" and swap its two children, it produces a scrambled string "rgeat".

    rgeat
   /    
  rg    eat
 /     /  
r   g  e   at
           / 
          a   t
We say that "rgeat" is a scrambled string of "great".

Similarly, if we continue to swap the children of nodes "eat" and "at", it produces a scrambled string "rgtae".

    rgtae
   /    
  rg    tae
 /     /  
r   g  ta  e
       / 
      t   a
We say that "rgtae" is a scrambled string of "great".

Given two strings s1 and s2 of the same length, determine if s2 is a scrambled string of s1.

难度：99

这是个人觉得这是LeetCode中最难的动态规划的题目了，很难想，要进行一次三维动态规划，对于维护量的含义也比较讲究。如果用brute force，每次做切割，然后递归求解，是一个非多项式的复杂度，一般来说这不是面试官想要的答案。参考了一下Code Ganker的思路
这其实是一道三维动态规划的题目，我们提出维护量res[i][j][n]，其中i是s1的起始字符，j是s2的起始字符，而n是当前的字符串长度，res[i][j][len]表示的是以i和j分别为s1和s2起点的长度为len的字符串是不是互为scramble。
有了维护量我们接下来看看递推式，也就是怎么根据历史信息来得到res[i][j][len]。判断这个是不是满足，其实我们首先是把当前s1[i...i+len-1]字符串劈一刀分成两部分，然后分两种情况：第一种是左边和s2[j...j+len-1]左边部分是不是scramble，以及右边和s2[j...j+len-1]右边部分是不是scramble；第二种情况是左边和s2[j...j+len-1]右边部分是不是scramble，以及右边和s2[j...j+len-1]左边部分是不是scramble。如果以上两种情况有一种成立，说明s1[i...i+len-1]和s2[j...j+len-1]是scramble的。而对于判断这些左右部分是不是scramble我们是有历史信息的，因为长度小于n的所有情况我们都在前面求解过了（也就是长度是最外层循环）。
上面说的是劈一刀的情况，对于s1[i...i+len-1]我们有len-1种劈法，在这些劈法中只要有一种成立，那么两个串就是scramble的。
总结起来递推式是res[i][j][len] = || (res[i][j][k]&&res[i+k][j+k][len-k] || res[i][j+len-k][k]&&res[i+k][j][len-k]) 对于所有1<=k<len，也就是对于所有len-1种劈法的结果求或运算。因为信息都是计算过的，对于每种劈法只需要常量操作即可完成，因此求解递推式是需要O(len)（因为len-1种劈法）。
如此总时间复杂度因为是三维动态规划，需要三层循环，加上每一步需要线行时间求解递推式，所以是O(n^4)。虽然已经比较高了，但是至少不是指数量级的，动态规划还是有很大有事的，空间复杂度是O(n^3)。代码如下：

public class Solution {
    public boolean isScramble(String s1, String s2) {
        if (s1 == null || s2 == null || s1.length() != s2.length()) return false;
        if (s1.length() == 0) return true;
        boolean[][][] check = new boolean[s1.length()][s2.length()][s1.length()+1];
        for (int i=0; i<s1.length(); i++) {
            for (int j=0; j<s2.length(); j++) {
                check[i][j][1] = s1.charAt(i) == s2.charAt(j);
            }
        }
        for (int len=2; len<=s1.length(); len++) {
            for (int i=0; i+len-1<s1.length(); i++) {
                for (int j=0; j+len-1<s2.length(); j++) {
                    for (int k=1; k<len; k++) {
                        check[i][j][len] |= check[i][j][k]&&check[i+k][j+k][len-k] || check[i][j+len-k][k]&&check[i+k][j][len-k];
                    }
                }
            }
        }
        return check[0][0][s1.length()];
    }
}