一些数学思想

做题中运用到的一些计算公式和规律总结（未完）

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1、从n个不同元素中选取m个元素的所有组合的个数：组合数C_n^m=n！/（m！*（n-m）！）

2、一个n*m的矩阵中，边长为x的正方形有（n-x+1）*（m-x+1）个，矩形（包括正方形）有（1+n）*（1+m）*（n+m）/4 个

3、斐波那契数列：f[1]=1，f[1]=1，f[2]=2，f[3]=3·······f[n]=f[n-1]+f[n-2]

4、唯一分解定理：N=p₁^c1p₂^c2···p_m^cm （其中ci都是正整数，pi都是质数且满足p₁<p₂···<p_m）

N的正约数个数=∏_i=1^m（ci+1）   ∏表示连乘积符号

N的所有正约数之和=∏_i=1^m（∑_j=0^ci（pi）^j）   ∑表示连加符号

5、最大公约数：gcd（a，b）=gcd（b，a-b）=gcd（a，a-b）=gcd（a，a mod b）

6、Catalan数列，给定n个0和1，它们按照某种顺序排成长度为2n的序列，满足任意前缀中0的个数都不少于1的个数的序列的数量：Cat_n=1/（n+1）*C_2nⁿ

与Catalan数相关的问题：

（1）n个左括号和n个右括号组成的合法括号序列的数量

（2）1,2···n经过一个栈，形成的合法出栈序列的数量

（3）n个节点构成的不同二叉树的数量

（4）在平面直角坐标系上，每一步只能向上或向右走，从（0,0）走到（n，n）并且除两个端点外不接触直线y=x的路线数量为2Cat_n-1

7、对于一棵树，给定前序遍历和后序遍历，无法唯一确定树的形状，但中序遍历的序列总数我们却可以求出：2^只有一个儿子的节点数

求只有一个儿子的节点数的方法：当在前序序列中有AB，后序序列中有BA时，则这个节点只有一个儿子。所以开双层循环，一层循环前序，一层循环后序，就能找完满足要求的节点