【模板】负环

【模板】负环

洛谷P3385 【模板】负环

模板题没人发题解嘛？？大概是太简单了dalao们不屑于发吧（大雾，轻喷）

前言

确实很模板，题意清晰明了，下面给出(Bellman-Ford)算法判定负环和(SPFA)判定负环这两种做法的讲解qwq

（为了学好差分约束来的）

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(SPFA)判定负环

• 设(cnt[i])表示从(1)到(i)的最短路径包含的边数，(cnt[1]=0)

当执行更新(dis[v]=dis[x]+e[i].val)时，同时更新(cnt[v]=cnt[x]+1)

若发现(cnt[v]≥n)，则说明图中又负环；若算法正常结束，则说明图中没有负环

• 设(cnt[i])表示从(1)到(i)的最短路径上每个点入队的次数，(cnt[1]=0)

当执行更新(dis[v]=dis[x]+e[i].val)时，同时更新(cnt[v]++)

若(cnt[v]==n)则说明有负环

• 关于这两种方法的效率

《算法竞赛进阶指南》上说第一种方法比第二种方法高效：因为第一种方法只需要绕环一次就能发现负环，而判定入队次数的做法需要绕环(n)次

(However)，我针对于这两种方法都交上去评测，结果大出意料：第二种方法成功AC，然后第一种方法只有(10pts)！（大概是我没编对？如果您做出来能够AC，可否麻烦您贴一下代码，谢谢啊qwq）

• 代码(Code)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
queue<int> q;
int T,n,m,u,v,w;
int tot,dis[60010],vis[60010],cnt[60010],head[60010];

struct node {
	int to,net,val;
} e[60010];

inline void add(int u,int v,int w) {
	e[++tot].to=v;
	e[tot].val=w;
	e[tot].net=head[u];
	head[u]=tot;
}

inline bool spfa() {
	for(register int i=1;i<=n;i++) {
		vis[i]=0;
		cnt[i]=0;
		dis[i]=20050206;
	}
	dis[1]=0;
	vis[1]=0;
	cnt[1]++;
	q.push(1);
	while(!q.empty()) {
		int x=q.front();
		q.pop();
		vis[x]=0;
		for(register int i=head[x];i;i=e[i].net) {
			int v=e[i].to;
			if(dis[v]>dis[x]+e[i].val) {
				if(cnt[v]>=n-1) return true;  //判定入队次数
				dis[v]=dis[x]+e[i].val;
				if(!vis[v]) {
                                        cnt[v]++;
					vis[v]=1;
					q.push(v);
				}
			}
		}
	}
	return false;
}

int main() {
	scanf("%d",&T);
	while(T--) {
		tot=0;
		for(register int i=1;i<=n;i++) {
			e[i].to=0;
			e[i].val=0;
			e[i].net=0;
			head[i]=0;
		}
		scanf("%d%d",&n,&m);
		for(register int i=1;i<=m;i++) {
			scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
			add(u,v,w);
			if(w>=0) add(v,u,w);
		}
		if(spfa()==false) puts("NO");
		else puts("YES");
	}
	return 0;
}

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(Bellman-Ford)判定负环

• 如何判定负环

若经过(n)轮迭代，算法仍未结束（仍有能产生更新的边），则图中存在负环

若(n-1)轮迭代之内，算法结束（所有边都满足三角形不等式），则图中无负环

• 本题注意

本题需要注意一点的是：题目要求找到一个 (1)能到达的负环

而输入并不保证(1)一定与其他点连通！即(1)可能是一个“孤儿点”（#11就是一个例子QAQ）

• 代码(Code)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T,n,m,u,v,w,tot,flag,dis[600010];

struct node {
	int to,fro,val;
} e[600010];

inline void add(int u,int v,int w) {
	e[++tot].to=v;
	e[tot].fro=u;
	e[tot].val=w;
}

inline bool ford() {
	for(register int i=1;i<=n;i++) dis[i]=2005020600;
	dis[1]=0;
	for(register int i=1;i<n;i++) {
		for(register int j=1;j<=tot;j++) {
			if(dis[e[j].fro]+e[j].val<dis[e[j].to]) {
				dis[e[j].to]=dis[e[j].fro]+e[j].val;
			}
		}
	}
	for(register int i=1;i<=tot;i++) {
		if(dis[e[i].fro]+e[i].val<dis[e[i].to]) return true;
	}
	return false;
}

int main() {
	scanf("%d",&T);
	while(T--) {
		tot=0;flag=0;
		scanf("%d%d",&n,&m);
		for(register int i=1;i<=m;i++) {
			scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
			if(u==1||v==1) flag=1;
			add(u,v,w);
			if(w>=0) add(v,u,w);
		}
		if(flag==0) {
			puts("NO");
			continue;
		} 
		if(ford()==false) puts("NO");
		else puts("YES");
	}
	return 0;
}

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最后，如果您有任何不懂或这篇题解有任何不对的地方，欢迎评论区指出，我会及时回复、改正，谢谢各位dalao阅读qwq

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