高斯消元

O((n^{3}))
线性方程组组成n*n的矩阵，而第n+1列是常系数
高斯消元后第n+1行的值就是答案

求解线性方程组的方法
1.构造增广矩阵
1.初等变换交换行位置
2.加减消元化成阶梯型
3.回带化为最简阶梯(对角线都是1)

模板

传送门

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=105;
const double eps=1e-7;
int n;
double a[maxn][maxn];
bool Gauss(){//返回true表示有解，返回false表示没有解
    int r;
    double f;
    for(int i=0;i<n;i++){//因为是n*n行的矩阵，所以i两个作用
        r=i;
        for(int j=i+1;j<n;j++)//找到第i行下面第j列中最大的那个元素(此时i充当的是一行中的第i个数)
            if(fabs(a[j][i])>fabs(a[r][i])) r=j;
        if(fabs(a[r][i])<eps) return false;//都是0的情况,就是自由项的情况
        
        if(r!=i)//第r行和第i行交换
            for(int j=0;j<=n;j++) swap(a[r][j],a[i][j]);
        
        for(int k=i+1;k<n;k++){//此时i充当的是第i行
            f=a[k][i]/a[i][i];//第k行第一个非零数是第i行的对应的数的几倍
            for(int j=i;j<=n;j++) a[k][j]-=f*a[i][j];//整行都进行乘除
        }
    }
    //此时矩阵是一个阶梯型矩阵
    for(int i=n-1;i>=0;i--){//对n行的矩阵进行操作
        for(int j=i+1;j<n;j++) a[i][n]-=a[j][n]*a[i][j];
        a[i][n]/=a[i][i];//把对角线全部消成1
    }
    return true;
}
int main(){
    while(~scanf("%d",&n)){
        for(int i=0;i<n;i++){
            for(int j=0;j<n+1;j++){//n+1行，第n+1行是齐次方程组的常系数
                scanf("%lf",&a[i][j]);
            }
        }
         if(!Gauss()){
            puts("No Solution");
        }else{
            for(int i=0;i<n;i++) printf("%.2lf
",a[i][n]);
        }
    }
    return 0;
}

对自由元的情况

传送门
有可能找不到一个(x_{i})系数为非零