[主席树]ZOJ2112 && BZOJ1901 Dynamic Rankings

题意：n个数，q个询问 (n<=50000, q<=10000)

Q x y z 代表询问[x, y]区间里的第z小的数

C x y    代表将(从左往右数)第x个数变成y

上篇介绍了在[x, y]区间内查询第z小的数的方法(静态主席树)

本题有更新操作

若仍用上篇的做法，

每次更新一个数，需要更新的是T[i], T[i+1]... ...T[n](该数所在的树以及它后面的所有树)

因为每棵树T[i]所记录的都是前缀(1到i的数出现的次数) 因此，改变i，会影响i到n的所有树

这样，每次更新的复杂度最坏为O($n$)，最坏更新q次即为O($n imes m$) 复杂度相当庞大，很明显这样做是不行的

那怎么办呢？

我们可以发现，对于改变i处的数这个操作，对于T[i], T[i+1]... ...T[n]这些树的影响是相同的

  都只改变了  “原来i处的数 的数量”  和  “现在i处的数 的数量” 这两个值而已

我们只要在原来的基础上增加一类树， 用它们来维护更新掉的数

即用树状数组来记录更新，每次更新$logn$棵树

下面来演示一下建树到查询的过程：

比如此题的第一个案例

5 3
3 2 1 4 7
Q 1 4 3
C 2 6
Q 2 5 3

先将序列以及要更新的数(C操作)离散化  

即3 2 1 4 7 、 6  ---->(排序) ----> 1 2 3 4 6 7  

那么我们就需要建一棵这样的树：

(圈里的都是结点的编号， 4、5、6、9、10、11号结点代表的分别是1、2、3、4、6、7)

(4、5、9、10你也可以任意作为6或11的儿子， 递归生成的是类似这样的， 这并不重要)

对于3 2 1 4 7(先不管需要更新的6)建完树见下图(建树过程同静态的，不明白的戳这里，上篇博客有讲)

(红色的是个数， 相同结点的个数省略了，同前一棵树)

对于C操作之前的Q，就跟静态的类似，减一减 找就好了

然后下面要更新了

对于更新， 我们不改变这些已经建好的树， 而是另建一批树S，用来记录更新，而这批线段树，我们用树状数组来维护

也就是树状数组的每个节点都是一颗线段树

一开始，S[0]、S[1]、S[2]、S[3]、S[4]、S[5](树状数组的每个节点)这些都与T[0]相同(也就是每个节点建了一棵空树)

对于C 2 6 这个操作， 我们只需要减去一个2，加上一个6即可

对于减去2

(树状数组i+lowbit(i)为i的父亲节点， 修改i，就要把i的所有父亲节点都修改了)

2在树状数组中出现的位置是 2、2+lowbit(2)=4 这两个位置，    

因此要更新的是S[2]和S[4]这两个节点中的树

删去2后是这样

加上一个6 (同样是对于2号位置， 因此需要更新的仍是S[2]和S[4])

加上之后是这样

 当查询的时候， 对树T的操作与静态的一致，另外再加上S树的值就好了

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define lson l, m
#define rson m+1, r
const int N=60005;
int a[N], Hash[N];
int T[N], L[N<<5], R[N<<5], sum[N<<5];
int S[N];
int n, m, tot;
struct node
{
    int l, r, k;
    bool Q;
}op[10005];

int build(int l, int r)
{
    int rt=(++tot);
    sum[rt]=0;
    if(l!=r)
    {
        int m=(l+r)>>1;
        L[rt]=build(lson);
        R[rt]=build(rson);
    }
    return rt;
}

int update(int pre, int l, int r, int x, int val)
{
    int rt=(++tot);
    L[rt]=L[pre], R[rt]=R[pre], sum[rt]=sum[pre]+val;
    if(l<r)
    {
        int m=(l+r)>>1;
        if(x<=m)
            L[rt]=update(L[pre], lson, x, val);
        else
            R[rt]=update(R[pre], rson, x, val);
    }
    return rt;
}

int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}

int use[N];
void add(int x, int pos, int val)
{
    while(x<=n)
    {
        S[x]=update(S[x], 1, m, pos, val);
        x+=lowbit(x);
    }
}

int Sum(int x)
{
    int ret=0;
    while(x>0)
    {
        ret+=sum[L[use[x]]];
        x-=lowbit(x);
    }
    return ret;
}

int query(int u, int v, int lr, int rr, int l, int r, int k)
{
    if(l>=r)
        return l;
    int m=(l+r)>>1;
    int tmp=Sum(v)-Sum(u)+sum[L[rr]]-sum[L[lr]];
    if(tmp>=k)
    {
        for(int i=u;i;i-=lowbit(i))
            use[i]=L[use[i]];
        for(int i=v;i;i-=lowbit(i))
            use[i]=L[use[i]];
        return query(u, v, L[lr], L[rr], lson, k);
    }
    else
    {
        for(int i=u;i;i-=lowbit(i))
            use[i]=R[use[i]];
        for(int i=v;i;i-=lowbit(i))
            use[i]=R[use[i]];
        return query(u, v, R[lr], R[rr], rson, k-tmp);
    }
}

void modify(int x, int p, int d)
{
    while(x<=n)
    {
        S[x]=update(S[x], 1, m, p, d);
        x+=lowbit(x);
    }
}

int main()
{
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        int q;
        scanf("%d%d", &n, &q);
        tot=0;
        m=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d", &a[i]);
            Hash[++m]=a[i];
        }
        for(int i=0;i<q;i++)
        {
            char s[10];
            scanf("%s", s);
            if(s[0]=='Q')
            {
                scanf("%d%d%d", &op[i].l, &op[i].r, &op[i].k);
                op[i].Q=1;
            }
            else
            {
                scanf("%d%d", &op[i].l, &op[i].r);
                op[i].Q=0;
                Hash[++m]=op[i].r;
            }
        }
        sort(Hash+1, Hash+1+m);
        int mm=unique(Hash+1, Hash+1+m)-Hash-1;
        m=mm;
        T[0]=build(1, m);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            T[i]=update(T[i-1], 1, m, lower_bound(Hash+1, Hash+1+m, a[i])-Hash, 1);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            S[i]=T[0];
        for(int i=0;i<q;i++)
        {
            if(op[i].Q)
            {
                for(int j=op[i].l-1;j;j-=lowbit(j))
                    use[j]=S[j];
                for(int j=op[i].r;j;j-=lowbit(j))
                    use[j]=S[j];
                printf("%d
", Hash[query(op[i].l-1, op[i].r, T[op[i].l-1], T[op[i].r], 1, m, op[i].k)]);
            }
            else
            {
                modify(op[i].l, lower_bound(Hash+1, Hash+1+m, a[op[i].l])-Hash, -1);
                modify(op[i].l, lower_bound(Hash+1, Hash+1+m, op[i].r)-Hash, 1);
                a[op[i].l]=op[i].r;
            }
        }
    }
    return 0;
}