二分图匹配

学了二分图，整个人都不好了，赶紧趁热打铁敲个日志巩固下记忆。
二分图，就是将一个图分为2个点集后，每个点集内部任意两点之间不存在边，即每一条边都连接在不同点集中的两个点。
匹配，是一个边集，且任两条边不相邻，即不存在公共点。
相关算法：
    ①最大匹配问题：
        顾名思义，就是找到给定图中边数最多的匹配。解决这一问题，可以采用网络流进行构图，或者利用匈牙利算法构造匈牙利树，这    里讨论后一种做法。
        显然，空集也是一种匹配，那么我们可以从空集开始，对当前解一步步进行优化，使在满足匹配的前提下，边集尽可能大，或说进行增广。对于当前匹配，我们可以从一个未覆盖点开始，从这个点的连边进行搜索，直到找到另一个未覆盖点。因起点和终点都是未覆盖    点，所以起始边和终边都是未匹配边，中继点一定是已覆盖点，然后易得知此路径上的边一定是已匹配边和未匹配边交错。要让边集仍满足匹配，且将起点和终点都被覆盖，只需要把路径上各边都取反，即舍去所有已匹配边，取用所有未匹配边，这时我们便可得到一个更优解。
        考虑对此算法进行优化，假如已某一点为起点无法找到增广路，那么在以后的查找中也不需要考虑该点的增广路，证明的话自己画个图大概就明白了。

 ②二分图最大点独立集：
    独立集：一个点集，满足其中所以点之间都没有边相邻。
    可以证明，二分图最大点独立集点数=总点数-最大匹配边数。证明如下：
        对于任意未被匹配的点，假如它们之间有连线，必定存在更优匹配，矛盾。对于已匹配点，由于减去的是边数，我们可以考虑只留下每条边的其中一个端点，这是可以保证独立。对于一个组未匹配点和已匹配点，如果他们之间存在连线，我们可以把这个已匹配点转为其匹配点，若该匹配点仍与未匹配点相连，易得到一个更优的匹配解，矛盾，得证。
    ③最优匹配问题：
        原最大匹配问题的变种，所有边都有一个权值，求边权和最大的匹配解。这时需要用到KM算法（全称是Kuhn-Munkras）。
        我们可以设二分图中两个点集中的每个点各有一个标记A[i]和B[i]，在整个过程中保证对于边w(i,j)满足A[i]+B[i]≥w(i,j)。假如把所有A[i]+B[i]=w(i,j)的边组合为一个导出子图，假如这个子图存在完美匹配（即点完全覆盖），那么这个完美匹配一定是原图的最优匹配，但假如不存在完美匹配，我们需要改变点标记，使更多边进入子图，慢慢使子图存在完美匹配。我们可以设A[i]=maximine(w(i,j)) j∈V，B[i]=0。当我们找不到完美匹配时，便得到一棵交错树，可以取一个值lack，将A[i]减去lack,B[i]加上lack。此时，对于本已在树中的边或两顶点都不在树上时，A[i]+B[i]值不变，仍在树中或仍不在树中。对于有一个点在树上，其A[i]+B[i]值增大或减小，那么该边就有可能进入相等子图，于是子图得到扩大。这个lack就取能让新边进入的最小值就行。不断进行该操作，最后可得到一个完美匹配。

updata at 2017.4.13

　　补了一波最大权匹配的KM算法，这里有个模版：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define MN 1001
#define ll long long
#define INF 1e7
using namespace std;

int read_p,read_ca,read_f;
inline int read(){
    read_p=0;read_ca=getchar();read_f=1;
    while(read_ca<'0'||read_ca>'9') read_f=read_ca=='-'?-1:read_f,read_ca=getchar();
    while(read_ca>='0'&&read_ca<='9') read_p=read_p*10+read_ca-48,read_ca=getchar();
    return read_p*read_f;
}
int m,n,nl,nr,dis[MN][MN],A[MN],B[MN],la,li[MN],sla[MN],t=0;ll mmh;
bool va[MN],vb[MN];
char s[MN];
inline int abs(int x){return x<0?-x:x;}
inline int max(int a,int b){return a>b?a:b;}
inline int min(int a,int b){return a<b?a:b;}
bool find(int x){
    va[x]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    if (!vb[i]){
        if (A[x]+B[i]==dis[x][i]){
            vb[i]=1;
            if (li[i]==0||find(li[i])) return li[i]=x,1;
        }else sla[i]=min(sla[i],A[x]+B[i]-dis[x][i]);
    }
    return 0;
}
void work(){
    register int i,j;
    for (i=1;i<=n;i++) li[i]=B[i]=0,A[i]=-INF;
    for (i=1;i<=n;i++)
    for (j=1;j<=n;j++) if (A[i]<dis[i][j]) A[i]=dis[i][j];
    for (i=1;i<=n;i++){
        if (A[i]==-INF){puts("-1");return;}
        for (j=1;j<=n;j++) sla[j]=INF;
        for (;;){
            memset(va,0,sizeof(va));
            memset(vb,0,sizeof(vb));
            if (find(i)) break;
            la=INF;
            for (j=1;j<=n;j++) if (!vb[j]&&sla[j]<la) la=sla[j];
            if (la==INF){puts("-1");return;}
            for (j=1;j<=n;j++){
                if (va[j]) A[j]-=la;
                if (vb[j]) B[j]+=la;else sla[j]-=la;
            }
        }
    }
    mmh=0;
    for (i=1;i<=n;i++) mmh+=A[i]+B[i];
    printf("%lld
",mmh);
}
int main(){
    while (~scanf("%d%d%d",&nl,&nr,&m)){
        t++;n=max(nl,nr);
        for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++) dis[i][j]=(i<=nl&&j<=nr)?-INF:0;
        while (m--){
            int x=read()+1,y=read()+1,z=read();
            if (z<0) continue;
            if (dis[x][y]<z) dis[x][y]=z;
        }
        printf("Case %d: ",t);
        work();
    }
}

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define MN 401
#define ll long long
using namespace std;

ll read_p,read_ca,read_f;
inline ll read(){
    read_p=0;read_ca=getchar();read_f=1;
    while(read_ca<'0'||read_ca>'9') read_f=read_ca=='-'?-1:read_f,read_ca=getchar();
    while(read_ca>='0'&&read_ca<='9') read_p=read_p*10+read_ca-48,read_ca=getchar();
    return read_p*read_f;
}
queue<ll> q;
ll n,nl,m,li[MN],x,y,num=0,to[MN],pre[MN];
bool va[MN],vb[MN];
ll A[MN],B[MN],sla[MN],z,dis[MN][MN],mmh=0;
inline ll max(ll a,ll b){return a>b?a:b;}
inline ll min(ll a,ll b){return a<b?a:b;}
inline void Connect(ll x){
    while (x) li[x]=pre[x],swap(to[pre[x]],x);
}
inline void bfs(ll x){
    q.push(x);va[x]=1;
    for(;;){
        while (!q.empty()){
            ll k=q.front();q.pop();
            for (ll i=1;i<=n;i++)
            if (!vb[i]){
                ll t=A[k]+B[i]-dis[k][i];
                if (t>sla[i]) continue;
                pre[i]=k;
                if (!t) if (vb[i]=1,!li[i]){Connect(i);return;}else va[li[i]]=1,q.push(li[i]);else sla[i]=t;
            }
        }
        ll t=1e18;
        for (ll i=1;i<=n;i++)
        if (!vb[i]) t=min(t,sla[i]);
        for (ll i=1;i<=n;i++){
            if (va[i]) A[i]-=t;
            if (vb[i]) B[i]+=t;else sla[i]-=t;
        }
        for (ll i=1;i<=n;i++)
        if (!vb[i]&&!sla[i])
        if (vb[i]=1,!li[i]){Connect(i);return;}else va[li[i]]=1,q.push(li[i]);
    }
}
int main(){
    register ll i,j;nl=read();
    n=max(nl,read());m=read();
    while (m--) x=read(),y=read(),z=read(),dis[x][y]=max(dis[x][y],z),A[x]=max(A[x],z);
    for (i=1;i<=n;i++) memset(va,0,sizeof(va)),memset(vb,0,sizeof(vb)),memset(sla,63,sizeof(sla)),bfs(i);
    for (i=1;i<=n;i++) mmh+=A[i]+B[i];
    printf("%lld
",mmh);
    for (i=1;i<=nl;i++)
    if (!dis[i][to[i]]) printf("0 ");else printf("%d ",to[i]);
}

听说bfs会比dfs快，但是我的bfs还是在uoj上T掉了。

例题看这吧：http://972169909-qq-com.iteye.com/blog/1184514