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  • x+y=xy

        有一天,我拿这一本本子给两位同学看,问他们这本本子多少钱,一个说3块,一个说1.5块,但它实际上是4.5块。于是,我们发现,3X1.5=4.5,3+1.5=4.5。那么这样的数有哪些呢?
            我们可以列出方程"x+y=xy"变形可得"y=x/(x-1)",那么我们可以发现它的正整数解只有“x=2,y=2”,证明如下:
                当x=1时,1+y=y,不成立,舍去;
                当x=2时,可得“x=2,y=2”;
                当x>2时,x与x-1互质,y为小数,即无正整数解;
            如果x=0,则可得"x=0,y=0",那x为负整数呢?用类似的证明方法可得该方程无负整数解。
            如果只是整数解呢?因为当x为正整数时y不为负整数,当x为负整数时y不为正整数,所以整数解也只有以上两个。
            对于小数解,就没什么好讨论的了。 
            然后,是一些特殊情况:
                y的最大解:因为"y→ 1+1/(x-1)","1/(x-1)"最大为∞,所以Ymax→ +∞;
                y的最小解:因为"1/(x-1)"最小时"x→ 1-1/+∞","y→ -∞",所以Ymin→ -∞;
                y的正数最小解:即x=+∞时,y→ 1+1/+∞;
                y的负数最大解:即x=1/+∞,y→ (1/+∞)/(1/+∞-1);
                x是整数时,y的正数最大解:其实就是"y=2"了,x为整数时"1/(x-1)"最大为1,所以y=2;
                x是整数时,y的正数最小解:"1/(x-1)"最小为1/+∞,y→ 1+1/+∞;
                x是整数时,y的负数最大解:即"x→ 1-1/+∞",所以y→ -1/+∞;
                x是整数时,y的负数最小解:即"x→ 1/+∞",所以y→ 1/+∞+1;
        另外,证明x与y总有一个不大于2:
            假定x<y,当x>2时,y*x>2y,y+x<2y,即y+x<y*x,所以x与y总有一个不大于2。
         完......

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