看到这题目是不是各种奇葩吖……
其实我真的只是想写写微积分，然后再(shunbian)怀念一下高一上学期的生活。
想我5个月前，刚刚进入JSZX时，还只是个稍微知道点极限，导数，积分定义的大煞X，经过一个学期勤勤恳恳的学习，虽然还是什么都不懂，但似乎并没有什么关系。
文末再怀念吧……先补充一些东西。
之前的日志里，都仅仅是说当自变量趋近于什么什么值的时候函数值为其极限，然而真正的极限是：对于任意a>0，存在b>0使得当x在x0的去心领域(x0,b)内时，有|f(x)-p|<a，则称p为f(x)在x0处的极限。
然后来说说求极限的一些方法。
四则运算法则我就不说了哈。
先是夹逼定理：如果在x0的某个去心领域内，恒有g(x)≤f(x)≤h(x)，且lim (x->x0) g(x)=A，lim (x->x0) h(x)=A，则有lim (x->x0) f(x)=A。
这可以用来证明lim (x->0) sinx/x=1，只需要构造-1/|x|≤sinx/x≤1/|x|，套定理就好了。
然后是洛必达法则，这个只需要记住当lim (x->x0) g(x)=0，lim (x->x0) h(x)=0时，lim (x->x0) g(x)/h(x)=lim (x->x0) g'(x)/h'(x)，另外g(x)，h(x)均为无穷极限时也成立，这个法则可以用柯西中值定理证明。它也可以用于证明lim (x->0) sinx/x=1。
如果lim (a->0,b->0) a/b = ∞，则称a为b的高阶无穷小，等于一个非零常数则a,b为等价无穷小，很显然可以看出它是按照趋近0的速度做的区分。在极限计算中，经常可以用等价无穷小进行代换。
极限大概就补充这么多……
我发现我以前一直把导数当做微分……233……微分其实仅仅表示自变量作微小变化后函数值的变化，导数事实上是微商。当然它们有很多相似的计算法则……
反函数求导：[f^(-1)]'(x)=1/f'(y)，机智才是王道啦啦啦……
隐函数求导：表达式两边同对x求导，再把y'解出来就好
参数方程求导：f'(x)=φ'(t)/Φ’(t)，即dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)
高阶导数：这种往往可以写它几阶然后找规律(打表找规律？)，另有(uv)^(n)=Σ (0≤i≤n) C (i,n) *[u^(i)*v^(n-i)]。
积分？除了一点点三角代换好像没什么了……慢着，看我伟大而仁慈的变步长梯形法求积：
#include <stdio.h> #include <math.h> #include <iomanip> #define e 2.7182818 double f(double x) { return pow(e,-x*x); } double Calc(double a,double b,double esp) { int done(0); int n=1; double h,Tn,T2n,k,temp,x; h=b-a; Tn=h*(f(a)+f(b))/2.0; while(!done){ temp = 0; for(k=0;k<n;k++){ x=a+(k+0.5)*h; temp+=f(x); } T2n=(Tn+h*temp)/2.0; if(fabs(T2n-Tn)<esp) done=1; else{ Tn=T2n; n=n*2; h=h/2; } } return T2n; } int main() { printf("%.50lf ",Calc(-10000,10000,1e-50)); return 0; }
以前有人叫我写微分方程，我就不写，就不写……
微分方程其实就是带导函数的方程……像小学那样解就行了啦……
例：dy/dx+f(x)y=0，则dy/y=f(x)dx，于是y=Ce^(-∫ f(x)dx)。至于dy/dx+f(x)y=g(x)就是在原来的式子上乘个代换后的式子，即Ce^(-∫ f(x)dx) * [∫g(x)e^(∫f(x)dx)dx+C]。
必须承认，微分方程只写这么一点，原因在于……在于……西瓜太怂了……还不是很熟悉的样子。
再有是二阶的微分方程，通解结构y=C1y1+C2y2，其中y1，y2为两个特解，特解可以用y=e^(rx),y'=r·e^(rx),y''=r^2·e^(rx)，分离e然后解特征方程得到，我也是比较怂……不多说了……不过你知道吗，假如y为多元函数，那么y''+py'+qy=f(x)被称作二阶常系数非齐次线性偏微分方程，啦啦啦……
中值定理们：
罗尔定理：
如果函数f(x)满足在闭区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，f(a)=f(b)，则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。
用最大最小值去证明就好啦。
拉格朗日中值定理：
如果函数f(x)满足在闭区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。
构造函数g(x)=f(x)-f(a)-(x-a)*[f(b)-f(a)]/(b-a)，再利用罗尔定理证明就好了。
柯西中值定理：
如果函数f(x)及F(x)满足在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a，b)内可导,对x∈(a,b)，F'(x)≠0，那么在(a,b)内至少有一点ζ，使[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ζ)/F'(ζ)成立。
构造g(x)=f(x)-f(a)-[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]*[g(x)-g(a)]，同套罗尔定理。
然后乱入一些定义：
间断点：
设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有：在x=x0没有定义或虽在x=x0有定义，但x→x0 limf(x)不存在或虽在x=x0有定义，且x→x0 limf(x)存在，但x→x0 limf(x)≠f(x0),
则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的间断点。
几种常见类型：
可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。
跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。
无穷间断点：函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为∞。
振荡间断点：函数在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值在两个常数间变动无限多次。
可去间断点和跳跃间断点称为第一类间断点，也叫有限型间断点。其它间断点称为第二类间断点。
渐近线：
水平渐进线：lim (x->-∞) f(x)=a或lim (x->+∞) f(x)=a，则y=a为f(x)的水平渐近线。
铅直渐进线：lim (x->a+) f(x)=∞或lim (x->a-) f(x)=∞，则x=a为f(x)的铅直渐近线。
斜渐进线：lim (x->+∞) f(x)-kx-b=0或lim (x->-∞) f(x)-kx-b=0，则y=kx+b为f(x)的斜渐近线。
————————我是分割线————————————
大概是写完了，我来怀念一发……
描述我的高一上学期：f(x)=1/(|x|-3)（这么差劲的函数也敢拿出来？……因为我怂啊……）
行，来一发这个…… r=(sin(t)*sqrt(abs(cos(t))))/(sin(t)+(7/5))-2*sin(t)+2
(不是说写微积分，咋扯上极坐标了……) 怪我咯……
行……dx/dt=a(-2sint+2sin2t)，dy/dx=-(cost-cos2t)/(sint-sin2t) 俩方程自个解咧……
(傻叉方程……) 西瓜本来就是傻叉……
这个呢……x>0时，y'+y=2[(1+x)sqrt(4-x^2)-(2x^2)/sqrt(4-x^2)]，且它是偶函数……
还有这个y=abs(x-a)-2*abs(x-a-1)+2*abs(x-a-2)-2*abs(x-a-3)+abs(x-a-4)+abs(x-b)-2*abs(x-b-1)+2*abs(x-b-2)-2*abs(x-b-3)+abs(x-b-4)+lim(c->∞) [c/2(abs(x-d+3/c)-2*abs(x-d)+abs(x-d-1.5/c)+abs(x-d-2+1.5/c)-2*abs(x-d-2)+abs(x-d-2-3/c))]
其中a=-7，b=-2，d=3。
如果我的同班同学们有人愿意稍稍动用一下脚趾头看出以上几个函数的含义的话，大概就知道西瓜里面装的是什么了(๑• . •๑)
最后送一发给102的同学们：x=0，y∈[-1,1] ；r=|sint|+1 ；[sqrt(1-x^2)-y]·[|x-1-y|+(x∈(-1,1)?0:1)]·[|y+2|+(x∈(-1,1)?0:1)]=0