GMA Round 1 抛硬币

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抛硬币

　　扔一个硬币，正面概率为0.6。扔这枚硬币666次，正面就得3分，反面就得1分，求总分的方差。

　　直接套公式$np(1-p)*(X-Y)^2=666*0.6*(1-0.6)*(3-1)^2$

　　稍微证明一下这个式子，题目等价于正面2分，反面不得分，这里我们先假设正面得1分。

　　首先我们来证明期望得分E(x)=np：

　　$sum_{i=0}^{n}*P(i)*i$

　　$=sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}*i*p^i*(1-p)^{n-i}$

　　$=sum_{i=1}^{n}n*C_{n-1}^{i-1}*p^i*(1-p)^{n-i}$

　　$=nsum_{j=0}^{n-1}C_{n-1}^{j}*p^(j+1)*(1-p)^{n-1-j}（设j=i-1）$

　　$=npsum_{j=0}^{n-1}C_{n-1}^{j}*p^j*(1-p)^{n-1-j}$

　　$=np(p+1-p)^{n-1}$

　　$=np$

　　那么得分为i(0≤i≤n)的概率为$P(X=i)=C_{n}^{i}p^i(1-p)^{n-i}$，方差 $$S^2=sum_{i=0}^{n}P(i)*(i-np)^2=sum_{i=0}^{n}P(i)*(i^2+n^2p^2-2inp)=sum_{i=0}^{n}P(i)*i^2-n^2p^2$$

　　接下来只要求出得分的平方的期望值即可：

　　$sum_{i=0}^{n}*P(i)*i^2$

　　$=sum_{i=0}^{n}*C_{n}^{i}*i^2*p^i*(1-p)^{n-i}$

　　$=nsum_{i=0}^{n-1}i*C_{n-1}^{i-1}*p^i*(1-p)^{n-i}$

　　$=npsum{j=0}^{n-1}(j+1)*C_{n-1}^{j}*p^j*(1-p)^{n-1-j}$

　　$=np((n-1)p+1)$

　　$=n^2p^2-np^2+np$

　　$=n^2p^2+np(1-p)$

　　代入上式可得$S^2=n^2p^2+np(1-p)-n^2p^2=np(1-p)$，由于原题是正面得两分那么我们在这个式子的基础上乘个4就可以了。

　　由于高中阶段只要求记忆最终公式，不要求证明，本题实际上变成了为高三选手提供优势的题目。（看到好多高一高二选手卡在这道题）

　　定位：简单题