算法总结之矩阵入门

算法总结之矩阵入门

定义

　　矩阵：

　　　　矩阵是矩形的数组，例如

                                        

　　矩阵的转置：

　　　　交换矩阵A的行和列获得的矩阵是矩阵A的转置A^T，例如

                                     

　　对称矩阵：

　　　　A=A^T

　　单位矩阵：

　　　　对角线元素均为1的n*n的矩阵为n*n单位矩阵I_n：

　　　　　　　　　　　　

矩阵的基本操作

　　矩阵的加法：

　　　　如果A=(a_ij) B=(b_ij)是m*n的矩阵，那么两者的矩阵和C=(c_ij)=A+B也是一个m*n的矩阵。并定义

　　　　　　　　　　c_ij=a_ij+b_ij

　　矩阵的乘法：

　　　　给定2个相容的矩阵A和B，即A的列数等于B的行数。即如果A=(a_ik)为m*n的矩阵，B=(b_kj)为n*p的矩阵，那么他们的积C=AB是一个m*p的矩阵。

　　　　　　　　　c_ij=sum(a_ik*b_kj)  (k=1 to n)

　　　　特别的

　　　　　　　　　（1）I_mA=AI_n=A

　　　　　　　　　（2）A0=A

　　　　　　　　　（3）A(BC)=(AB)C  结合律

　　　　　　　　　（4）A(B+C)=AB+AC 分配律

　　　　　　　　　（5）不满足交换律

矩阵的逆：

　　　　定义n*n的矩阵A的逆为A^-1（如果存在）为满足AA^-1=In=A^-1A的n*n的矩阵。

　　　　　　　　

　　　　许多非零的n*n的矩阵没有逆矩阵，一个没有逆的矩阵称为不可逆的，或者奇异的。

　　　　　　　　 

　　　　如果逆矩阵存在，那么唯一存在。

线性有关&线性无关：

　　　　如果存在不全为零的相关系数：c1，c2，c3，，，cn，使得c1x1+c2x2+...cnxn=0，则成向量x1,x2,x3...xn线性相关。

　　　　如果向量组不是线性相关，则为线性无关。

矩阵的秩：

　　　　非零m*n矩阵A的列秩是A的最大线性无关列集合的大小。同理，行秩为A的最大线性无关行集合的大小。

　　　　任意矩阵A的行秩等于列秩。统称为秩即可。

　　　　一个m*n的矩阵的秩是[0,min(m,n)]内的整数。

　　　　如果一个n*n的矩阵的秩为n，则它是满秩的。如果一个m*n的矩阵的秩为n，则它是列满秩的。

　　　　补充定理：

　　　　（1）一个方阵是满秩的，当且仅当该方阵是非奇异的。

未完待续。。。