图的匹配

定义见：OI-Wiki 图的匹配 。

二分图

解法 (1) ：网络流（通用）

二分图最大匹配可以转换成最大流（费用流）模型 。

如果使用 (operatorname{Dinic}) 算法求该网络的最大流，复杂度(O(sqrt{n}m)) 。

具体代码见博客文章网络流 。

解法 (2) ：匈牙利算法（一般只适合求二分图最大匹配）

即不断寻找增广路，遍历二分图，最坏复杂度为 (O(nm)) 。

P3386 【模板】二分图最大匹配 ：

核心代码：

bool dfs(int x)
{
	 for(int i=hea[x];i;i=nex[i]) if(!vis[ver[i]])
 	 {
 	 	 vis[ver[i]]=true;
 	 	 if(!match[ver[i]] || dfs(match[ver[i]]))
		 {
		 	 match[ver[i]]=x; return true;
		 }
	 }
	 return false;
}

for(int i=1;i<=n;i++)
{
	 memset(vis,false,sizeof(vis));
	 if(dfs(i)) ans++;
}

CF1139E Maximize Mex

参考

性质：

二分图最大独立集

选最多的点，满足两两之间没有边相连。

二分图中，( ext{最大独立集} = n - ext{最大匹配}) 。

二分图最小点覆盖

选最少的点，满足每条边至少有一个端点被选，不难发现补集是独立集。

二分图中，( ext{最小点覆盖} = n - ext{最大独立集}) 。

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一般图

咕咕咕~