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  • 求乘法逆元的几种方法

    求模意义下一个数的乘法逆元有多种方法.

    方法1

    利用裴蜀定理(扩展欧几里得算法)。

    直接解线性方程(ax+bp=1), 可知(a^{-1}=x).

    方法2

    利用费马小定理。

    对任意素数(p), 若(a<p), 则 (a^{p-1}equiv 1(mod p))

    推至(a^{p-2}equiv a^{-1}(mod p))

    所以使用快速幂算法求得模意义下的(a^{p-2})就可以得到(a)的乘法逆元

    方法3(线性批量求逆元)

    使用了一个巧妙的递推构造.

    首先我们知道 (p=aq+r, 0 le r < a), 其中(q=lfloor frac p a floor)

    由此 (aq+requiv 0 (mod p))

    由此(aa^{-1}r^{-1}q + ra^{-1}r^{-1} equiv 0 (mod p ))

    由此(-r^{-1}qequiv a^{-1}(mod p))

    上式中(r < a), 所以, 对于一个数, 我们总可以利用比其小的数的逆元推出它的逆元.

    又有(1^{-1} =1)

    由此我们建立了一个线性递推方法.

    下面会给出这种方法的程序实现.

    /*
        Problem : [Luogu]P3811
        Content : 给定n,p, 求1~n中所有整数在模p意义下的乘法逆元。
        Author  : shleodai (blog : www.cnblogs.com/Eroad)
    */
    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    
    #define ll long long 
    const int maxn = 3e6+5;
    int inv[maxn], p, n;
    signed main(){
        scanf("%d %d", &n, &p);
        inv[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++) inv[i] = (p - (ll) (p/i) * inv[p%i] % p) % p;
        for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%d
    ", inv[i]);
        return 0;
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/Eroad/p/11755430.html
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