南外联测 191112 做题总结

Game

重述题意：

有这样一个游戏， 这个游戏里有n只怪， 每只怪血量 (a_i)

每次攻击时， 玩家选择一个数(p), 使得

for(int i = p; i <= min(n, k+p-1); i++) {
	a[i] -= k+p-i;
}

求最小的k， 使得玩家可以通过m次攻击使得所有(a[i] < 0)

数据范围：

50% data: (n le 10^3)

100% data: (n le 10^6, m le 1e9, a[i] le 1e9)

首先明显 k 具有可二分性。

对于每一个k，操作的方法只有： 对(a_i)数列顺序“施加攻击”。

但是怎么模拟这个操作呢？毕竟每次都区间减等差数列的数据结构 非常高级，而且难写

（当然写好暴力区间减就50分到手 再一次说明写暴力重要性

形式化的讲， 每次攻击(a_i) 需要施加 (l = lceil frac{a_i}{k} ceil) 次攻击， 影响一直波及到 (a_{i+k-1}) 。

考虑差分。 定义 (Delta a_i = a_{i+1} - a_i)

则有： (Delta a_i ' = Delta a_i + l) 。 所以 区间加等差数列等于区间差分加上一个固定的数

而对(forall Delta a_x, i le xle i+k-1), 都有上式成立。 故对每个操作，打上一个“区间减法”标记就可以了。

（其实这个标记的真正含义是二阶差分）

考后总结

1. 50分暴力必须要写。 写了可以对拍。
2. 二分时注意 解区间开闭性和边界， 二分其实有很多坑的。重点要记住， 二分区间一致是一个 半开半闭 区间。
3. 数组未初始化， 调了40分钟（哭哭哭。
4. 其实k = 0的情况是存在的， 但是不能写进二分的判定里（若是让k = 0 ，那么判断时会除以0）
   1. 所以k=0情况要特判。

Friend

百度地图的实时路况 简化版。

考后感想

特别要注意： 这张图是有重边和自环的。

我没有给边判重，得20分

判重之后， 满分！！

Revenge

重述题意：

有一颗n个点的树， 每个点有一个颜色，总共有c种颜色。求最短的树上路径（一个点最多经过一次），使得路径上每种颜色的点都有。

60% data: (n le 2000)

100% data : (cle 9, n le 20000)

这道题我在考试时想到的思路是这样的（类比求树的直径）：

[egin{align} 动态规划:\ &f(i,sta) = 以点i为根,经过点集为sta的最短路径长度&\ &g(i,sta) = 以点i为根,经过点集为sta的次短路径长度 end{align} ]

但是其实这样无法保证最短路径和次短路径不相交 . 保证 不相交 才是最重要的.

但是我却写了这个错误的解法. 所以最后没时间调试, 我没分了.

考后感想

其实, 通过n次(dfs)就可以得到60分.

所以, 一个方法务必想清楚为什么正确!!不能确定正确的话, 先写个暴力.

100分做法:

动态规划: 仔细看， 定义改成了 (f(i,sta) = 以点i为根,经过点集至少为为sta的最短路径长度)

转移时, 可以优化:

[{DP:} egin{align} \ &ans =min _s f(u, s) + f(v,s')\ &f(u, s+c_u) = min {f(v, s+c_u) + 1, f(u, s)} end{align}]

复杂度 (O(n*2^n))

注意！！

(f(i, sta)) 中 (sta) 是 至少 经过点集为sta的最短路径长度

这个至少 很重要。 否则， 这道题就需要用(SOSdp), 一种(FWT)的变体来更新ans了。

这里有一篇(SOSdp)的博客: https://blog.csdn.net/weixin_38686780/article/details/100109753

（原汁原味英文版： https://codeforces.com/blog/entry/45223 ）

不过现在就先不学了。

怎么处理这个 至少 呢？ （不用枚举子集）

再加一个状态转移方程： (f_{u, s} = min { f_{v,s} + 1, f_{u, s}})就可以了。（有点意思！）

这样， 对于任意一条路径， 所有可能的 忽略某些点 的方案都会被统计到。（毕竟“至少” 就是要 忽略某些在路径上的点）